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Forum "Differentiation" - differenzierbare funktion
differenzierbare funktion < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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differenzierbare funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:03 Di 24.04.2007
Autor: Lord-Fishbone

Aufgabe
Seien I=[a,b] a<b ein Intervall und [mm] x_{0}\in [/mm] I ein Punkt. Die stetige Funktion [mm] f:I\to\IR [/mm] sei in [mm] I\backslash [x_{0}] [/mm] differenzierbar und es existiere der Grenzwert
[mm] \alpha:= \limes_{x\rightarrow x_{0}} [/mm] f´(x) [mm] \in\IR [/mm]
Zeigen Sie: Die Funktion f ist in [mm] x_{0} [/mm] differenzierbar und es gilt f´( [mm] x_{0} [/mm] )= [mm] \alpha [/mm]

Ich weiss leider gar nicht wie ich an diese Aufgabe rangehen soll und bin für jeden Ansatz dankbar.

        
Bezug
differenzierbare funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:24 Di 24.04.2007
Autor: WalDare

Eine Funktion f: I [mm] \to \IR [/mm] ist im Punkt [mm] x_0 [/mm] doch differenzierbar, wenn [mm]\limes_{x\rightarrow x_{0}}f'(x) [/mm] existiert.
da [mm]\limes_{x\rightarrow x_{0}}f'(x) := \alpha [/mm] ist, ist [mm]f[/mm] in [mm] x_{0} [/mm] differenzierbar und [mm]f'(x_{0})=\alpha[/mm].

Bezug
                
Bezug
differenzierbare funktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:54 Di 24.04.2007
Autor: angela.h.b.


> Eine Funktion f: I [mm]\to \IR[/mm] ist im Punkt [mm]x_0[/mm] doch
> differenzierbar, wenn [mm]\limes_{x\rightarrow x_{0}}f'(x)[/mm]
> existiert.

Hallo,

nein, das stimmt so nicht.
Eine Funktion ist im Punkt [mm] x_0 [/mm] diffbar, wenn der Grenzwert $ [mm] \limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} [/mm] $  existiert.

Was Du schreibst, soll ja für eine Funktion f, welche auf I stetig und auf I \  [mm] \{x_0\} [/mm] diffbar ist, erst gezeigt werden.

Gruß v. Angela

Bezug
        
Bezug
differenzierbare funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:50 Di 24.04.2007
Autor: angela.h.b.


> Seien I=[a,b] a<b ein Intervall und [mm]x_{0}\in[/mm] I ein Punkt.
> Die stetige Funktion [mm]f:I\to\IR[/mm] sei in [mm]I\backslash [x_{0}][/mm]
> differenzierbar und es existiere der Grenzwert
>  [mm]\alpha:= \limes_{x\rightarrow x_{0}}[/mm] f´(x) [mm]\in\IR[/mm]
>  Zeigen Sie: Die Funktion f ist in [mm]x_{0}[/mm] differenzierbar
> und es gilt f´( [mm]x_{0}[/mm] )= [mm]\alpha[/mm]

Hallo,

Differenzierbarlkeit im Punkt [mm] x_0 [/mm] ist ja so erklärt:

der Grenzwert [mm] \limes_{x\rightarrow x_0}\bruch{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} [/mm] existiert.

Du mußt also herausfinden, ob es diesen Grenzwert gibt.
Setzt Du [mm] x_0 [/mm] ein, hast Du, da die Funktion stetig ist, die Situation [mm] \bruch{0}{0} [/mm] - ein Fall für die l'Hospital-Regel. Wendest Du diese nun an, bist Du nahezu fertig.

Gruß v. Angela


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