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| Aufgabe | | Geben Sie ein Beispiel einer differenzierbaren Funktion f: [mm] \IR \to \IR [/mm] mit f´(0) = 0 , die gerade ist ( d. h. es gilt f (- x) = f (x) für alle x [mm] \in \IR [/mm] ) , aber in 0 kein lokales Extremum hat. |
kan mir vielleicht jemand helfen diese Aufgabe zu lösen, wäre echt super...
vieln Dank schonmal im Voraus
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Hallo looney_tune,
> Geben Sie ein Beispiel einer differenzierbaren Funktion f:
> [mm]\IR \to \IR[/mm] mit f´(0) = 0 , die gerade ist ( d. h. es
> gilt f (- x) = f (x) für alle x [mm]\in \IR[/mm] ) , aber in 0
> kein lokales Extremum hat.
> kan mir vielleicht jemand helfen diese Aufgabe zu lösen,
> wäre echt super...
Da gibt es m.E. nicht viele Möglichkeiten...
Wenn f'(0)=0 ist, aber kein lokales Extremum vorliegt, müsste also die erste Ableitung, die [mm] \not=0 [/mm] ist, eine ungerade Ableitung sein. Dann aber würde dort ein Wendepunkt vorliegen. In diesem Fall wäre die Krümmung auf der einen Seite negativ und auf der anderen positiv, womit die Funktion nicht gerade wäre.
Bleibt also nur eine Funktion, für die alle [mm] f^n(0)=0 [/mm] sind, also f(x)=const.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:25 Do 27.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo looney_tune,
>
> > Geben Sie ein Beispiel einer differenzierbaren Funktion f:
> > [mm]\IR \to \IR[/mm] mit f´(0) = 0 , die gerade ist ( d. h. es
> > gilt f (- x) = f (x) für alle x [mm]\in \IR[/mm] ) , aber in 0
> > kein lokales Extremum hat.
> > kan mir vielleicht jemand helfen diese Aufgabe zu
> lösen,
> > wäre echt super...
>
> Da gibt es m.E. nicht viele Möglichkeiten...
>
> Wenn f'(0)=0 ist, aber kein lokales Extremum vorliegt,
> müsste also die erste Ableitung, die [mm]\not=0[/mm] ist, eine
> ungerade Ableitung sein. Dann aber würde dort ein
> Wendepunkt vorliegen. In diesem Fall wäre die Krümmung
> auf der einen Seite negativ und auf der anderen positiv,
> womit die Funktion nicht gerade wäre.
>
> Bleibt also nur eine Funktion, für die alle [mm]f^n(0)=0[/mm] sind,
> also f(x)=const.
Hallo rev,
eine konstante Funktion hat in jedem Punkt, also auch in 0, ein lokales Extremum.
Gruß FRED
>
> Grüße
> reverend
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:26 Do 27.10.2011 | | Autor: | reverend |
Moin Fred,
> > Bleibt also nur eine Funktion, für die alle [mm]f^n(0)=0[/mm] sind,
> > also f(x)=const.
>
> Hallo rev,
>
> eine konstante Funktion hat in jedem Punkt, also auch in 0,
> ein lokales Extremum.
Nach dieser Definition hat sie sogar in jedem Punkt ein globales Extremum. 
Allen Ernstes: das ist doch eine philosophische Debatte.
Ich stehe darin auf der anderen, anschaulich für mich näherliegenden Seite. Die Frage ist doch folgende:
Betrachten wir eine beliebig kleine, aber fest wählbare [mm]\varepsilon[/mm]-Umgebung von [mm] x_0. [/mm] Dann ist die Bedingung dafür, dass im Intervall [mm] I_{\varepsilon}:=[x_0-\varepsilon, x_0+\varepsilon] [/mm] in [mm] x_0 [/mm] ein lokales Maximum hat
in Deiner Variante [mm] \forall x\in I_{\varepsilon}:\quad f(x_0)\ge{f(x)}
[/mm]
in meiner Variante [mm] \forall x\in I_{\varepsilon}:\quad f(x_0)>f(x)
[/mm]
Für ein Minimum entsprechend [mm] \le [/mm] bzw. <.
Was ich nun nicht sehe ist, worin der Vorteil Deiner Variante besteht. Sie bringt den Nachteil mit, dass ein Minimum zugleich ein Maximum sein kann, eben an Stellen, wo eine Funktion konstant verläuft.
Die Funktion in Deinem anderen Post finde ich übrigens wie immer genial, u.a. weil sie obiges Problem umgeht.
Grüße ![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]")
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:55 Do 27.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> Moin Fred,
>
> > > Bleibt also nur eine Funktion, für die alle [mm]f^n(0)=0[/mm] sind,
> > > also f(x)=const.
> >
> > Hallo rev,
> >
> > eine konstante Funktion hat in jedem Punkt, also auch in 0,
> > ein lokales Extremum.
>
> Nach dieser Definition hat sie sogar in jedem Punkt ein
> globales Extremum.
>
> Allen Ernstes: das ist doch eine philosophische Debatte.
> Ich stehe darin auf der anderen, anschaulich für mich
> näherliegenden Seite. Die Frage ist doch folgende:
>
> Betrachten wir eine beliebig kleine, aber fest wählbare
> [mm]\varepsilon[/mm]-Umgebung von [mm]x_0.[/mm] Dann ist die Bedingung
> dafür, dass im Intervall
> [mm]I_{\varepsilon}:=[x_0-\varepsilon, x_0+\varepsilon][/mm] in [mm]x_0[/mm]
> ein lokales Maximum hat
>
> in Deiner Variante [mm]\forall x\in I_{\varepsilon}:\quad f(x_0)\ge{f(x)}[/mm]
Hallo Reverend,
das ist nicht meine Variante. Die übliche Def. ist die:
Sei D [mm] \subset \IR [/mm] und $f:D [mm] \to \IR$ [/mm] eine Funktion. [mm] x_0 \in [/mm] D heißt Stelle eines lokalen Minimums von f, wenn es eine Umgebung U von [mm] x_0 [/mm] gibt mit:
[mm] f(x_0) \le [/mm] f(x) für alle x [mm] \in [/mm] D [mm] \cap [/mm] U.
Weitere Def.:
D,f, [mm] x_0 [/mm] seien wie oben. [mm] x_0 \in [/mm] D heißt Stelle eines strengen lokalen Minimums von f, wenn es eine Umgebung U von [mm] x_0 [/mm] gibt mit:
[mm] f(x_0) [/mm] < f(x) für alle x [mm] \in [/mm] D [mm] \cap [/mm] U.
Gruß FRED
>
> in meiner Variante [mm]\forall x\in I_{\varepsilon}:\quad f(x_0)>f(x)[/mm]
>
> Für ein Minimum entsprechend [mm]\le[/mm] bzw. <.
>
> Was ich nun nicht sehe ist, worin der Vorteil Deiner
> Variante besteht. Sie bringt den Nachteil mit, dass ein
> Minimum zugleich ein Maximum sein kann, eben an Stellen, wo
> eine Funktion konstant verläuft.
>
> Die Funktion in Deinem anderen Post finde ich übrigens wie
> immer genial, u.a. weil sie obiges Problem umgeht.
>
> Grüße
> reverend
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:26 Do 27.10.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo Fred,
> das ist nicht meine Variante. Die übliche Def. ist die:
>
> Sei D [mm]\subset \IR[/mm] und [mm]f:D \to \IR[/mm] eine Funktion. [mm]x_0 \in[/mm] D
> heißt Stelle eines lokalen Minimums von f, wenn es eine
> Umgebung U von [mm]x_0[/mm] gibt mit:
>
> [mm]f(x_0) \le[/mm] f(x) für alle x [mm]\in[/mm] D [mm]\cap[/mm] U.
>
> Weitere Def.:
>
> D,f, [mm]x_0[/mm] seien wie oben. [mm]x_0 \in[/mm] D heißt Stelle eines
> strengen lokalen Minimums von f, wenn es eine Umgebung U
> von [mm]x_0[/mm] gibt mit:
>
> [mm]f(x_0)[/mm] < f(x) für alle x [mm]\in[/mm] D [mm]\cap[/mm] U.
Du findest also, ich sei zu streng?
Grüße
reverend
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:34 Do 27.10.2011 | | Autor: | fred97 |
Betrachte [mm] $f:\IR \to \IR$, [/mm] definiert durch
(*) [mm] f(x):=x^2*sin(\bruch{1}{x^2})$ [/mm] für x [mm] \ne [/mm] 0 und f(0):=0.
Klar ist, dass f gerade ist. Für x [mm] \ne [/mm] 0 ist f in x differenzierbar.
Zeige: f ist in x=0 differenzierbar und f'(0)=0.
Zeige weiter: in jeder Umgebung von 0 nimmt f sowohl positive, als auch negative Funktionswerte an.
FRED
P.S.
... da stand großer Unsinn von mir, schäm....
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:02 Do 27.10.2011 | | Autor: | donquijote |
> Betrachte [mm]f:\IR \to \IR[/mm], definiert durch
>
> (*) [mm]f(x):=x^2*sin(\bruch{1}{x^2})$[/mm] für x [mm]\ne[/mm] 0 und
> f(0):=0.
>
> Klar ist, dass f gerade ist. Für x [mm]\ne[/mm] 0 ist f in x
> differenzierbar.
>
> Zeige: f ist in x=0 differenzierbar und f'(0)=0.
>
ist in 0 doch diff'bar (Beweis mit der Definition der Ableitung), aber f' ist in 0 unstetig,
[mm] x^3*sin(1/x) [/mm] oder [mm] x^4*cos(1/x) [/mm] sind sogar stetig diff'bar
> Zeige weiter: in jeder Umgebung von 0 nimmt f sowohl
> positive, als auch negative Funktionswerte an.
>
> FRED
>
> P.S.
>
> Setzt man bei dieser Aufgabe voraus, dass f beliebig oft
> differenzierbar ist, so kann man zeigen:
>
> [mm]f^{(n)}(0)[/mm] =0 für jedes n [mm]\in \IN_0.[/mm]
>
> Mit dem Satz von Taylor sieht man dann: es gibt eine
> Umgebung U von 0 mit:
>
> f(x)=0 für jedes x [mm]\in[/mm] U.
Dieser Schluss gilt nur für analytische Funktionen, aus beliebig oft differenzierbar mit allen Ableitungen 0 folgt nicht f(x)=0 in einer Umgebung, "klassisches" Gegenbeispiel
f(x) = [mm] e^{-1/x^2} [/mm] mit f(0)=0
>
> Dann hat f aber in 0 ein lokales Extremum.
>
> Fazit: beliebig oft differenzierbare Funktionen mit den
> geforderten Eigenschaften gibt es nicht.
>
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:15 Do 27.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> > Betrachte [mm]f:\IR \to \IR[/mm], definiert durch
> >
> > (*) [mm]f(x):=x^2*sin(\bruch{1}{x^2})$[/mm] für x [mm]\ne[/mm] 0 und
> > f(0):=0.
> >
> > Klar ist, dass f gerade ist. Für x [mm]\ne[/mm] 0 ist f in x
> > differenzierbar.
> >
> > Zeige: f ist in x=0 differenzierbar und f'(0)=0.
> >
>
> ist in 0 nicht diff'bar,
Doch:
[mm] $|\bruch{f(x)-f(0)}{x-0}|=|x|*|sin(1/x^2)| \le [/mm] |x|$
Damit: [mm] \bruch{f(x)-f(0)}{x-0} \to [/mm] 0 für x [mm] \to [/mm] 0
> aber
> mit [mm]x^3*sin(1/x)[/mm] oder [mm]x^4*cos(1/x)[/mm] klappt es
>
> > Zeige weiter: in jeder Umgebung von 0 nimmt f sowohl
> > positive, als auch negative Funktionswerte an.
> >
> > FRED
> >
> > P.S.
> >
> > Setzt man bei dieser Aufgabe voraus, dass f beliebig oft
> > differenzierbar ist, so kann man zeigen:
> >
> > [mm]f^{(n)}(0)[/mm] =0 für jedes n [mm]\in \IN_0.[/mm]
> >
> > Mit dem Satz von Taylor sieht man dann: es gibt eine
> > Umgebung U von 0 mit:
> >
> > f(x)=0 für jedes x [mm]\in[/mm] U.
>
> Dieser Schluss gilt nur für analytische Funktionen, aus
> beliebig oft differenzierbar folgt nicht =0 in einer
> Umgebung, "klassisches" Gegenbeispiel
> f(x) = [mm]e^{-1/x^2}[/mm] mit f(0)=0
Au weia. Da hast Du recht ! Ich war wohl noch nicht ganz wach.
FRED
>
> >
> > Dann hat f aber in 0 ein lokales Extremum.
> >
> > Fazit: beliebig oft differenzierbare Funktionen mit den
> > geforderten Eigenschaften gibt es nicht.
> >
> >
> >
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Mache die gleiche Aufgabe habe auch alles hingekriegt außer dass in 0 kein lokales Extremum klar ist es mir da die Funktion osziliert aber wie ich es beweise weiss ich nicht
Hoffe es kann mir jemand helfen
lg eddie
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> Mache die gleiche Aufgabe habe auch alles hingekriegt
> außer dass in 0 kein lokales Extremum klar ist es mir da
> die Funktion osziliert aber wie ich es beweise weiss ich
> nicht
In jeder Umgebung von 0 gibt es positive und negative Funktionswerte (wenn du eines der angegebenen Beispiele genommen hast).
>
> Hoffe es kann mir jemand helfen
>
> lg eddie
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:59 Do 27.10.2011 | | Autor: | fred97 |
> Mache die gleiche Aufgabe habe auch alles hingekriegt
> außer dass in 0 kein lokales Extremum klar ist es mir da
> die Funktion osziliert aber wie ich es beweise weiss ich
> nicht
>
> Hoffe es kann mir jemand helfen
Ich hatte $ [mm] f(x):=x^2\cdot{}sin(\bruch{1}{x^2})$ [/mm]
Finde eine Nullfollge [mm] (x_n) [/mm] mit [mm] f(x_n)=x_n^2(-1)^n
[/mm]
FRED
>
> lg eddie
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