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hallo!!! kann mir mal bitte einer weiter helfen und zwar komme ich mit dieser aufgabe nicht weiter:
f(x)= 0,25*x3-2x2-x+5
a) bilde den differenzialquotienten an der stelle x0=4.
das ist die lokale änderungsrate aber ich weiß echt nicht wie die gerechnet wird, wir haben erst die mittlere änderungsrate gerechnet.
b) wie lautet die geradengleichung der tangente an den grafen im punkt p0(4/f(4))
das weiß ich leider auch nicht habe die anderen aufgaben zur mittleren änderungsrate gelöst aber die hier kann ich echt nicht
naja ;-(((((
hoffe mir hilf einer dabei
danke schonmal!!!!
lg sarah
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> hallo!!! kann mir mal bitte einer weiter helfen und zwar komme ich mit dieser aufgabe nicht weiter:
[mm] \text{Hi.}
[/mm]
>
> f(x)= 0,25*x3-2x2-x+5
[mm] $f:\IR \to \IR,x \mapsto \bruch{1}{4}x^3-2x^2-x+5 [/mm] $
>
> a) bilde den differenzialquotienten an der stelle x0=4.
>
> das ist die lokale änderungsrate aber ich weiß echt nicht wie die gerechnet wird, wir haben erst
> die mittlere änderungsrate gerechnet.
[mm] \text{Die mittlere Änderungsrate ergibt sich ja durch die Sekantensteigung, die wiederum durch zwei Punkte festgelegt ist.}
[/mm]
[mm] \text{Die lokale, oder auch: momentane, Änderungsrate ist der Grenzwert der Sekantensteigung, wenn die Sekante also zur}
[/mm]
[mm] \text{Tangente wird. Durch den Grenzübergang sind die beiden Punkte also unendlich nah beieinander.}
[/mm]
[mm] \text{Die mom. Änderungsrate an einer Stelle bestimmst du entweder mit der x-Methode oder mit der h-Methode.}
[/mm]
[mm] \text{Ich führe das Ganze mal mit der h-Methode vor:}
[/mm]
[mm] f(4)=16-32-4+5=-15 [/mm]
[mm] $f(4+h)=\bruch{1}{4}\left(4+h\right)^3-2(4+h)^2-(4+h)+5=\bruch{1}{4}(4+h)(4+h)^2-2(16+8h+h^2)-4-h+5=\bruch{1}{4}(4+h)(16+8h+h^2)-32-16h-2h^2-h+1$
[/mm]
$ [mm] =\bruch{1}{4}(64+32h+4h^2+16h+8h^2+h^3)-2h^2-17h-31=16+8h+h^2+4h+2h^2+\bruch{1}{4}h^3-2h^2-17h-31=\bruch{1}{4}h^3+h^2-5h-15$
[/mm]
[mm] \text{Das ist jetzt ein Punkt, der um h auf dem Graphen von f von dem Punkt 4;-15 entfernt ist.}
[/mm]
[mm] \text{Du bildest jetzt den Differenzenquotienten, wie bei der mittleren Änderungsrate:}
[/mm]
[mm] $m(h)=\bruch{\bruch{1}{4}h^3+h^2-5h-15-(-15)}{4+h-4}=\bruch{h\left(\bruch{1}{4}h^2+h-5\right)}{h}=\bruch{1}{4}h^2+h-5$
[/mm]
[mm] \text{Jetzt musst du h gegen 0 laufen lassen, da du ja die Steigung der zwei Punkte berechnen willst, die unendlich nah beieinander liegen.}
[/mm]
[mm] $\limes_{h\rightarrow0}m(h)=-5$
[/mm]
[mm] \text{Die momentane Änderungsrate an der Stelle 4 ist also:}\quad$f'(4)=-5$
[/mm]
>
> b) wie lautet die geradengleichung der tangente an den grafen im punkt p0(4/f(4))
>
> das weiß ich leider auch nicht habe die anderen aufgaben zur mittleren änderungsrate gelöst aber
> die hier kann ich echt nicht
>
[mm] \text{Die Gleichung einer Geraden lautet ja:}
[/mm]
[mm] $t:\IR \to \IR,x \mapsto [/mm] mx+n;m,n [mm] \in \IR$
[/mm]
[mm] \text{Die Steigung der Tangente im Berührpunkt stimmt mit der Steigung des Graphen an dieser Stelle einander überein.}
[/mm]
[mm] \text{Und die hast du ja schon!}
[/mm]
[mm] t:t(x)=-5x+n [/mm]
[mm] \text{Um n zu bestimmen, müssen noch die Koordinaten des Berührpunktes die Gleichung erfüllen.}
[/mm]
[mm] $\Rightarrow [/mm] t:t(x)=-5x+5$
> naja ;-(((((
> hoffe mir hilf einer dabei
> danke schonmal!!!!
> lg sarah
[mm] \text{Alles klar oder noch Fragen?}
[/mm]
[mm] \text{Grüße, Stefan.}
[/mm]
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hallo!!!
entschuldigung aber ich verstehe das noch immer nicht warum man die lokale änderungsrate mit einer h oder x methode berechnen soll??und warum gibt es denn nicht für die lokale änderungsrate so eine formel wie die mittlere änderungsrate???? naja mir ist das wirklich noch gar nicht klar warum man mit h und wo die anderen ganzen zahlen her kommen ;-((((
ich hoffe das es mir bald klar wird
danke schonmal
lg sarah
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Hi, sarah,
> entschuldigung aber ich verstehe das noch immer nicht
> warum man die lokale änderungsrate mit einer h oder x
> methode berechnen soll??
Das ist die Aufgabenstellung! Du sollst den "Differenzialquotienten" zur Berechnung verwenden (steht wörtlich da!).
> und warum gibt es denn nicht für
> die lokale änderungsrate so eine formel wie die mittlere
> änderungsrate????
Die gibt's natürlich! Das ist die Ableitung!
In Deinem Fall: f'(x) = [mm] \bruch{3}{4}x^{2}-4x-1
[/mm]
Und hier dann x=4 eingesetzt: f'(4) = -5.
Nur: So ist die Aufgabe halt nicht gestellt!
mfG!
Zwerglein
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