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Forum "Schul-Analysis" - differenz von funktionswerten
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differenz von funktionswerten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:00 So 12.09.2004
Autor: shoCk

Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.

so also ich hab die funktionen f(x)=e^(x²)-1 und g(x)=(e-1)x²
die frage lautet : für welche x element [0;1] ist die differenz der funktionswerte von f und g maximal?
da hab ich erstmal m(x)=f(x)-g(x) gemacht
und davon dann die ableitung gebildet -->
m(x)=(e^(x²)-1)- (e-1)x²
m´(x)=(2e^(x²)*x)-(2ex-2x)
dann hab ich die nullstellen der ableitung berechnet
0=(2e^(x²)*x)-(2ex-2x)
0=2xe^(x²)-2ex+2x | /x  x ungleich 0
0=2e^(x²)-2e+2 | +2e
2e=2e^(x²)+2 | ln
ln2+1=ln2+x²+ln2 |-ln2
1=ln2+x²
x=wurzel(1-ln2)
also x=0.55394
das problem is bloß dass da eigentlich 0.73575 rauskommen müsste^^
und ich hab ka wo mein fehler is -_-
        
Bezug
differenz von funktionswerten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:44 So 12.09.2004
Autor: Marc

Hallo shoCk,

[willkommenmr]

> so also ich hab die funktionen f(x)=e^(x²)-1 und
> g(x)=(e-1)x²
>  die frage lautet : für welche x element [0;1] ist die
> differenz der funktionswerte von f und g maximal?
>  da hab ich erstmal m(x)=f(x)-g(x) gemacht
> und davon dann die ableitung gebildet -->

[ok]


> m(x)=(e^(x²)-1)- (e-1)x²
>  m´(x)=(2e^(x²)*x)-(2ex-2x)
>  dann hab ich die nullstellen der ableitung berechnet
>
> 0=(2e^(x²)*x)-(2ex-2x)
> 0=2xe^(x²)-2ex+2x | /x  x ungleich 0

Ist nun x=0 im Definitionsbereich der Betrachtung --wie oben angegeben-- oder nicht?
Falls ja, dann ist die folgende Rechnung nur der erste "Zweig" der Fallunterscheidung: [mm] $x\not=0$ [/mm] oder $x=0$.
Den zweiten Fall $x=0$ müßtest du dann noch betrachten.

>  0=2e^(x²)-2e+2 | +2e
>  2e=2e^(x²)+2 | ln

[ok]

>  ln2+1=ln2+x²+ln2 |-ln2

[notok]

Du hast ja im Schritt vorher beide Seiten logarithmiert; du mußt dabei darauf achten, dass beiden Seiten als Ganzes logarithmiert werden, und nicht summandenweise:

[mm] $\ln 2+1=\ln\left(2e^{x^2}+2\right)$ [/mm] |-ln2

Wie du aber siehst, bringt dich das dann nicht weiter; vor dem Logarithmieren würde ich noch weiter Terme mit x isolieren:

[mm] $\gdw$ [/mm] 2e=2e^(x²)+2 | -2
[mm] $\gdw$ [/mm] 2e-2=2e^(x²) | / 2
[mm] $\gdw$ [/mm] e-1=e^(x²) | ln(...)
[mm] $\gdw$ [/mm] ln(e-1)=x²  | [mm] $\sqrt{\ }$ [/mm]
[mm] $\gdw$ \sqrt{ln(e-1)}=|x| [/mm]
[mm] $\gdw$ [/mm] x=0.736   (da [mm] $x\in[0;1]$) [/mm]

>  1=ln2+x²
>  x=wurzel(1-ln2)
>  also x=0.55394
>  das problem is bloß dass da eigentlich 0.73575 rauskommen
> müsste^^
>  und ich hab ka wo mein fehler is -_-

Jetzt? :-)

Viele Grüße,
Marc
Bezug
        
Bezug
differenz von funktionswerten: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:58 Mo 13.09.2004
Autor: shoCk

hmm dachte ich mir schon fast dass ich ein log gesetzt übersehen hab
thx für die schnelle hilfe =)
Bezug
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