diffbar, stetig, integrierbar < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:48 Mo 03.09.2007 | | Autor: | clover84 |
Hallo,
ich hätte da mal eine Frage. Es folgt doch aus der Differenzierbarkeir einer Funktion auch die Stetigkeit und schließlich die Integrierbarkeit.
Wenn nun eine Funktion stetig ist, ist sie dann auch differenzierbar? Und wenn sie nicht stetig ist, ist sie nicht differenzierbar??
Könnte mir jemand den Zusammenhand der Begriffe erklären?
Vielen Dank im voraus.
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Hallo!
> ich hätte da mal eine Frage. Es folgt doch aus der
> Differenzierbarkeir einer Funktion auch die Stetigkeit und
> schließlich die Integrierbarkeit.
Das stimmt ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Wenn nun eine Funktion stetig ist, ist sie dann auch
> differenzierbar? Und wenn sie nicht stetig ist, ist sie
> nicht differenzierbar??
Im Allgemeinen sind stetige Funktionen nicht differenzierbar. Als (Standard-)beispiel betrachte die Betragsfunktion $f(x) = |x|$. Diese ist an der Stelle 0 nicht differenzierbar (die rechts- und linksseitige Grenzwerte stimmen nicht überein, anschaulich kann man zwei Tangenten mit unterschiedlicher Steigung an den Graphen legen). Es gibt sogar Funktionen, die auf ihrem gesamten Definitionsbereich stetig sind, aber an keiner Stelle differenzierbar sind (siehe z.B. Königsberger, Analysis I).
Deine zweite Behauptung stimmt. Nehmen wir an, eine Funktion $f$ wäre an der Stelle [mm] $x_0$ [/mm] differenzierbar, aber nicht stetig. Aus der Diff'barkeit folgt aber, wie du oben geschrieben hast, dass die Funktion an der Stelle [mm] $x_0$ [/mm] stetig ist, was ein Widerspruch zu unserer Annahme ist. Also kann die Funktion nicht diff'bar sein.
Ich hoffe, ich konnte dir ein wenig weiterhelfen!
Gruß,
Stephan
PS: Es ist sehr gut, wenn man sich solche Fragen stellt und versucht, diese zu beantworten 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:07 Mo 03.09.2007 | | Autor: | clover84 |
Danke für die schnelle und hilfreiche Antwort.
Durch dein Beispiel kann ich es mir auch nun bildlich vorstellen.
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