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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:48 Do 31.08.2006 | | Autor: | hooover |
| Aufgabe | Geg.: Sei die Fkt. [mm] f:\IR\to\IR [/mm] definiert durch
[mm] f(n)=\begin{cases} ae^{4x}, & \mbox{für } x \ge0 \\ -ln(-x+a)+b,, & \mbox{für } x<0 \end{cases}
[/mm]
a) Bestimmen Sie a>0 und [mm] b\varepsilon\IR [/mm] so, dass f{x} in allen [mm] x\varepsilon\IR [/mm] diff´bar ist.
b) Untersuchen sie f für dei gefundene Parameter a und b auf Monotonie
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Hallo Leute,
ich bin mit der ganzen Materie nicht so vertraut und behandele das alles zum erstenmal, darum habe ich noch keine Blick dafür ob meine Lösung richtig sein könnte oder nicht.
hier meine Lösung.
zu a)
f{x}=-ln(-x+a)+b soll diff´bar für a>0 und [mm] b\varepsilon\IR [/mm] sein
also
[mm] \limes_{x(von unten)\rightarrow0}-ln(-x+a)+b=\limes_{x(von oben)\rightarrow0}ae^{4x}
[/mm]
[mm] -ln(-x+a)+b=ae^{4x}
[/mm]
[mm] -ln(0+a)+b=ae^0
[/mm]
-lna+b=a
b=lna+a
[mm] \limes_{x(von unten)\rightarrow0}-ln(-x+a)+lna+a=a [/mm] !!!
zu b)
f{x}=-ln(-x+a)+lna+a
[mm] f{(x^')}=\bruch{1}{-x+a}-1
[/mm]
[mm] 1\not=0 [/mm] also kein Extrema
[mm] f{x}=ae^{4x}
[/mm]
[mm] f{x^'}=4ae^{4x}
[/mm]
[mm] 4ae^{4x}=0
[/mm]
[mm] e^{4x}\not=0
[/mm]
jetzt wähle ich zwei Werte für x<0
-3<-2 und setze sie ein
-ln(-3+a)+lna+a<-ln(-2+a)+lna+a
-ln(-3+a)<-ln(-2+a) |*(-1)
3+a>2+a
3>2 also monoton wachsend
jetzt
prüfe ich 1>2 für x>0
[mm] ae^4>ae^8
[/mm]
[mm] e^4>e^8
[/mm]
4>8 also monoton wachsend
somit ist die ganze FUnktion monoton wachsend!
Ist das so richtig oder habe wieder mal irgendwas falsch gemacht
vielen Dank gruß hooover
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:09 Fr 01.09.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo hoover
> Geg.: Sei die Fkt. [mm]f:\IR\to\IR[/mm] definiert durch
>
> [mm]f(n)=\begin{cases} ae^{4x}, & \mbox{für } x \ge0 \\ -ln(-x+a)+b,, & \mbox{für } x<0 \end{cases}[/mm]
>
> a) Bestimmen Sie a>0 und [mm]b\varepsilon\IR[/mm] so, dass f{x} in
> allen [mm]x\varepsilon\IR[/mm] diff´bar ist.
>
> b) Untersuchen sie f für dei gefundene Parameter a und b
> auf Monotonie
>
> hier meine Lösung.
>
> zu a)
>
> f{x}=-ln(-x+a)+b soll diff´bar für a>0 und [mm]b\varepsilon\IR[/mm]
> sein
>
> also
>
> [mm]\limes_{x(von unten)\rightarrow0}-ln(-x+a)+b=\limes_{x(von oben)\rightarrow0}ae^{4x}[/mm]
>
> [mm]-ln(-x+a)+b=ae^{4x}[/mm]
>
>
> [mm]-ln(0+a)+b=ae^0[/mm]
>
> -lna+b=a
>
> b=lna+a
>
> [mm]\limes_{x(von unten)\rightarrow0}-ln(-x+a)+lna+a=a[/mm] !!!
Hiermit hast du gezeigt, dass die Fkt in 0 stetig ist, das ist ja eine notwendige Beziehung für Differenzierbarkeit!
Jetzt fehlt noch das differenzierbar, also der Vergleich der 2 Ableitungen. daraus bestimmst du dann a.
> zu b)
>
> f{x}=-ln(-x+a)+lna+a
>
> [mm]f{(x^')}=\bruch{1}{-x+a}-1[/mm]
Ableitung falsch! woher kommt die -1? Konstanten abgeleitet ergeben 0!
> [mm]1\not=0[/mm] also kein Extrema
Wenn deine Ableitung richtig wär hättest du doch :
[mm]\bruch{1}{-x+a}=1[/mm] und das hat ne Nullstelle!
> [mm]f{x}=ae^{4x}[/mm]
>
> [mm]f{x^'}=4ae^{4x}[/mm]
>
> [mm]4ae^{4x}=0[/mm]
>
> [mm]e^{4x}\not=0[/mm]
>
> jetzt wähle ich zwei Werte für x<0
>
> -3<-2 und setze sie ein
>
> -ln(-3+a)+lna+a<-ln(-2+a)+lna+a
>
> -ln(-3+a)<-ln(-2+a) |*(-1)
Wo bleibt der ln?
>
> 3+a>2+a
Wo bleibt das Minus bei der 3 und der 2?
> 3>2 also monoton wachsend
Beweisweg falsch! Berechne f(-3) und f(-2) dann vergleich sie!
> jetzt
Ab hier musst du Unsinn mit den Ungleichheitszeichen gemacht haben! Lies deine Postings am Ende doch noch mal durch !! 1>2 sollte da nicht stehen.
> prüfe ich 1>2 für x>0
>
> [mm]ae^4>ae^8[/mm]
>
> [mm]e^4>e^8[/mm]
>
> 4>8 also monoton wachsend
>
> somit ist die ganze FUnktion monoton wachsend!
>
>
> Ist das so richtig oder habe wieder mal irgendwas falsch
> gemacht
Ja
Gruss leduart.
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