die arithmetische Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hey
Ich habe eine Folge [mm] a_{n} [/mm] gegeben und weiß das sie gegen x [mm] \in \IR [/mm] konvergiert. Nun soll ich zeigen, dass die Folge der arithmetischen Mittel ebenfalls konvergiert und ihren Grenzwert bestimmen. Nur wo setze ich da an? Ich kenne bisher nur Aufgaben wo ich die Kovergenz beweisen soll, aber den Grenzwert ebenfalls kenne.
Muss ich hier also mit dem Cauchy Kriterium arbeiten?
und wo setze ich da an?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo rosapanther,
Um irgendetwas zu beweisen braucht man ja zunächst einmal eine Vermutung. Welcher Wert käme denn als Grenzwert infrage? Dann mache dir Gedanken, wie man das beweisen könnte. Tipp: Dreiecksungleichung.
Liebe Grüße,
UniverselllesObjekt
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wenn x der Grenzwert der Folge [mm] a_{n} [/mm] ist, käme doch auch der Wert x als Gremnzwert für die arithmetische Folge in Frage oder?
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Das denke ich auch. Versuche mal Ansätze zu finden, wie du das geschickt zeigen kannst. Benutze am besten einfach die Epsilon-Definition der Konvergenz.
Liebe Grüße,
UniverselllesObjekt
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dann weiß ich ja, dass [mm] |a_{n} [/mm] - a| [mm] \le \epsilon [/mm]
wie kann ich da weiter machen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:25 Sa 07.12.2013 | | Autor: | fred97 |
> dann weiß ich ja, dass [mm]|a_{n}[/mm] - a| [mm]\le \epsilon[/mm]
> wie kann ich da weiter machen?
Tipp: Cauchyscher Grenzwertsatz
FRED
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okay gut. dann habe ich ja:
[mm] n>m>n_0
[/mm]
und
[mm] |a_{n}-a_{m}| \le \epsilon
[/mm]
aber wie kann ich jie m und n einsetzen wenn es eine endliche Reihe ist?
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Hallo rosapanther,
Mit "Cauchyscher Grenzwertsatz" ist nicht gemeint, dass du mit Cauchy-Folgen arbeiten sollst, sondern die Aussage, welche zu zeigen ist, ist auch unter diesem Namen bekannt.
Um diesen Satz zu beweisen, benutze die gewöhnliche Definition von Folgenkonvergenz und zeige, dass [mm] $\lim_{n\to\infty} (1/n)*\sum_{k=1}^n a_k=x [/mm] $.
Versuche einfach mal eine passende Abschätzung zu finden. Und wenn du 100-prozentig überzeugt bist, dass du es alleine nicht schaffst, erklärst du uns, was du dir überlegt hast, wo du nicht weiterkommst und wir geben dir einen Tipp.
Liebe Grüße,
UniverselllesObjekt
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okay danke.
ich schätze das ganze sieht wie folgt aus:
http://matheplanet.com/default3.html?call=viewtopic.php?topic=111863&ref=http://www.google.de/url%3Fsa%3Dt%26rct%3Dj%26q%3Dman%2520zeige%2520das%2520die%2520folge%2520der%2520arithmetischen%2520mittel%2520konvergiert%26source%3Dweb%26cd%3D3%26ved%3D0CD0QFjAC
das habe ich beim recherchieren gefunden..allerdings hätte ich einige Fragen
1. bei | [mm] \frac{a_{i}-a}{n}| [/mm] < [mm] \frac{\epsilon}{n_0}
[/mm]
man hat ja beide Seiten durch n geteilt. aber wieso steht dann auf der einen Seite [mm] n_0 [/mm] im Nenner?
ist dies durch diese Ungleichung zu begründen? :
| [mm] \frac{a_{i}-a}{n}| [/mm] < [mm] \frac{\epsilon}{n}< \frac{\epsilon}{n_0}
[/mm]
wegen n [mm] \ge n_0 [/mm] ?
2. bei der langen Ungleichung:
der rechte lange Term. Wie kommt der zustande?Warum werden die Inizes immer kleiner? ( 1 , [mm] n_{0-1} ,n_0 [/mm] )
3. Ohje, Wie zur Hölle kommt der Term der nächsten Zeile zustande?
4. Am Ende erhalte ich in dieser Lösung ja 2 * [mm] \epsilon
[/mm]
aber muss nich normalerweise nur 1 * [mm] \epsilon [/mm] herauskommen?
Vielen dank schonmal für eure Hilfe !
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Hallo rosapanther,
Ich möchte dir einen Hinweis geben, der dir dein ganzes mathematisches Leben lang hilfreich sein wird: In 99% der Fälle nützt es NICHTS, sich die Lösung eines Problems im Internet durchzulesen und nachzuvollziehen, denn die Schwierigkeit der Mathematik besteht zum größten Teil darin, selber Ideen zu generieren, und nicht darin, den Stoff zu verstehen.
Genauer gesagt ist Zweiteres natürlich auch wichtig, folgt aber automatisch aus Ersterem.
Es ist dir mehr geholfen damit, 3 Wochen lang falsche Lösungsansätze auszuprobieren und zu erkennen, woran sie scheitern, als sich die richtige Lösung von jemand anderem geben zu lassen.
Darum verweise ich einfach noch einmal auf meine letzte Antwort hiervor und frage dich, wo genau dein Problem beim verwenden der Definition entsteht.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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das Problem ist:
also ich komme allein nur soweit:
| [mm] a_n [/mm] - a | < [mm] \epsilon
[/mm]
dann muss ja auch
| [mm] \frac{a_{n}-a}{n}| \le \frac{\epsilon}{n} \le \frac{\epsilon}{n_0} [/mm] (wegen n [mm] \ge n_0 [/mm] )
sooo. allerdings scheitert er dann im Folgenden:
| [mm] \frac{a_{n}-a}{n}| [/mm] <- diesen Term will ich ja abschätzen
allerdings weiß ich nicht wie ich jetzt weitermachen sollen, da ich das Umformen sonst nur mit reelen Folgen kenne
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Mi 11.12.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 Di 10.12.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:36 Mo 09.12.2013 | | Autor: | abakus |
> Hey
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> Ich habe eine Folge [mm]a_{n}[/mm] gegeben und weiß das sie gegen x
> [mm]\in \IR[/mm] konvergiert. Nun soll ich zeigen, dass die Folge
> der arithmetischen Mittel ebenfalls konvergiert und ihren
> Grenzwert bestimmen. Nur wo setze ich da an? Ich kenne
> bisher nur Aufgaben wo ich die Kovergenz beweisen soll,
> aber den Grenzwert ebenfalls kenne.
> Muss ich hier also mit dem Cauchy Kriterium arbeiten?
> und wo setze ich da an?
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Hallo,
wenn du irgendeine Epsilon-Umgebung hast, dann liegen einige der ersten (sagen wir: k) Glieder draußen und die restlichen innerhalb der Umgebung.
Für diese restlichen (n-k) Glieder gilt jeweils
[mm] $g-\epsilon
Die Summe ALLER n Folgenglieder liegt dann zwischen
[mm] $a_+a_2+...+a_k+(n-k)*( g-\epsilon)$ [/mm] und [mm] $a_+a_2+...+a_k+(n-k)*( g+\epsilon)$.
[/mm]
Das arithmetische Mittel der ersten n Folgenglieder ist (falls n>k ist) eingeschlossen zwischen [mm] $\frac{a_+a_2+...+a_k+(n-k)*( g-\epsilon)}{n}$ und $\frac{a_+a_2+...+a_k+(n-k)*( g+\epsilon)}{n}$.
[/mm]
Es sollte mich wundern, wenn diese beiden Terme nicht den selben Grenzwert für n gegen unendlich hätten...
Gruß Abakus
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