dicht/ nirgends dicht < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:09 Sa 03.03.2012 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Zeigen Sie:
(i) [mm] $\mathbb [/mm] Q$ liegt dicht in [mm] $\mathbb [/mm] R$.
(ii) [mm] $\mathbb [/mm] Z$ ist nirgends dicht in [mm] $\mathbb [/mm] R$.
Verwenden Sie dabei folgende Definitionen:
Sei [mm] $(X,\mathcal{O})$ [/mm] ein topologischer Raum, [mm] $A\subseteq [/mm] X$.
(1) A liegt dicht in X, wenn [mm] $\overline{A}=X$.
[/mm]
(2) Ist das Innere des Abschlusses von A leer, heißt A nirgends dicht in X. |
Hallo!
(i)
[mm] $\overline{\mathbb Q}=\left\{x\in\mathbb R~|~U\cap\mathbb Q\neq\emptyset~\forall~U\in\mathcal{U}(x)\right\}$
[/mm]
Nun gilt doch für jedes [mm] $U\in\mathcal{U}(x)$, [/mm] daß
[mm] $x\in O\subseteq [/mm] U$ für ein [mm] $O\in\mathcal{O}$. [/mm] Ich nehme mal an, man meint die durch die euklidische Metrik induzierte Topologie, dann ist doch [mm] $\mathcal{O}$ [/mm] nichts Anderes als die Menge aller offenen Intervalle.
Das heißt [mm] $x\in (a,b)\subseteq [/mm] U$ für ein offenes Intervall $(a,b)$ mit [mm] $a
Daraus folgt [mm] $\overline{\mathbb Q}=\mathbb [/mm] R$.
(ii)
[mm] $\overline{\mathbb Z}=\left\{x\in\mathbb R: U\cap\mathbb Z\neq\emptyset~\forall~U\in\mathcal{U}(x)\right\}$
[/mm]
Das ist m.E. die Menge [mm] $\mathbb [/mm] Z$ selbst.
Das Innere von [mm] $\mathbb [/mm] Z$ ist die Menge aller inneren Punkte von [mm] $\mathbb [/mm] Z$. $x$ ist innerer Punkt von [mm] $\mathbb [/mm] Z$, wenn [mm] $\mathbb [/mm] Z$ eine Umgebung von $x$ ist. Das heißt
[mm] $x\in (a,b)\subseteq \mathbb [/mm] Z$ für ein offenes Intervall $(a,b)$.
Das trifft aber für kein $x$ zu, also ergibt sich die leere Menge.
So, ich hoffe, ich liege richtig.
Grüße
mikexx
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:51 Sa 03.03.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Zeigen Sie:
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> (i) [mm]\mathbb Q[/mm] liegt dicht in [mm]\mathbb R[/mm].
>
> (ii) [mm]\mathbb Z[/mm] ist nirgends dicht in [mm]\mathbb R[/mm].
>
>
> Verwenden Sie dabei folgende Definitionen:
>
> Sei [mm](X,\mathcal{O})[/mm] ein topologischer Raum, [mm]A\subseteq X[/mm].
>
> (1) A liegt dicht in X, wenn [mm]\overline{A}=X[/mm].
>
> (2) Ist das Innere des Abschlusses von A leer, heißt A
> nirgends dicht in X.
>
> Hallo!
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> (i)
>
> [mm]\overline{\mathbb Q}=\left\{x\in\mathbb R~|~U\cap\mathbb Q\neq\emptyset~\forall~U\in\mathcal{U}(x)\right\}[/mm]
>
> Nun gilt doch für jedes [mm]U\in\mathcal{U}(x)[/mm], daß
>
> [mm]x\in O\subseteq U[/mm] für ein [mm]O\in\mathcal{O}[/mm]. Ich nehme mal
> an, man meint die durch die euklidische Metrik induzierte
> Topologie, dann ist doch [mm]\mathcal{O}[/mm] nichts Anderes als die
> Menge aller offenen Intervalle.
>
> Das heißt [mm]x\in (a,b)\subseteq U[/mm] für ein offenes Intervall
> [mm](a,b)[/mm] mit [mm]a
> offene Intervall eine rationale Zahl, also ist der Schnitt
> eines jeden offenen Intervalls mit [mm]\mathbb Q[/mm] nicht leer.
>
> Daraus folgt [mm]\overline{\mathbb Q}=\mathbb R[/mm].
>
>
> (ii)
>
> [mm]\overline{\mathbb Z}=\left\{x\in\mathbb R: U\cap\mathbb Z\neq\emptyset~\forall~U\in\mathcal{U}(x)\right\}[/mm]
>
> Das ist m.E. die Menge [mm]\mathbb Z[/mm] selbst.
>
> Das Innere von [mm]\mathbb Z[/mm] ist die Menge aller inneren Punkte
> von [mm]\mathbb Z[/mm]. [mm]x[/mm] ist innerer Punkt von [mm]\mathbb Z[/mm], wenn
> [mm]\mathbb Z[/mm] eine Umgebung von [mm]x[/mm] ist. Das heißt
>
> [mm]x\in (a,b)\subseteq \mathbb Z[/mm] für ein offenes Intervall
> [mm](a,b)[/mm].
>
> Das trifft aber für kein [mm]x[/mm] zu, also ergibt sich die leere
> Menge.
soweit ich das sehe, sind Deine Argumente richtig. Ich hätte aber [mm] $\overline{\IQ}=\IR$ [/mm] hier ein wenig anders gezeigt (ich schreibe das nur mal ergänzender Weise dazu):
Für jedes $r [mm] \in \IR$ [/mm] existiert eine Folge [mm] $(q_n)$ [/mm] in [mm] $\IQ$ [/mm] mit [mm] $q_n \to [/mm] r$ (das folgt auch aus Deiner Argumentation!), daher ist [mm] $\IR \subseteq \overline{\IQ}\,.$ [/mm] Und weil [mm] $\IQ \subseteq \IR=\overline{\IR}$ [/mm] gilt, folgt auch [mm] $\overline{\IQ} \subseteq \overline{\IR}=\IR\,.$
[/mm]
Deine Argumentation mit der entsprechenden "topologischen Definition" des Abschlusses ist aber korrekt. Du musst halt nur noch auf einen Satz verweisen, wo ihr gezeigt habt, dass zwischen je irgendzwei reellen Zahlen auch eine rationale liegt - ansonsten wäre das eine (absolut richtige!) Behauptung, die Du zusätzlich beweisen müsstest!
Und auch ansonsten hast Du recht:
Denn dass [mm] $\IZ^c=\IR \setminus \IZ$ [/mm] offen ist, erkennt man, weil man [mm] $\IZ^c$ [/mm] als Vereinigung offener Intervalle schreiben kann. Daher ist [mm] $\IZ=\overline{\IZ}\,.$ [/mm] Der innere Kern von [mm] $\IZ=\overline{\IZ}$ [/mm] ist aber die leere Menge, denn dazu betrachte ich einfach ein offenes Intervall mit Radius $ < [mm] 1\,$ [/mm] um eine ganze Zahl. Dann nehme ich die ganze Zahl, addiere die Hälfte des Radius drauf und erhalte somit eine nicht ganze, aber reelle Zahl, die in dem Intervall liegt. Also kann das Intervall nicht nur Elemente aus [mm] $\IZ$ [/mm] enthalten (genaugenommen enthält es dann nur noch genau ein Element aus [mm] $\IZ\,,$ [/mm] und überabzählbar viele aus [mm] $\IR$). [/mm] Also kann kein $z [mm] \in \IZ$ [/mm] zu [mm] $\IZ^\text{o}$ [/mm] gehören, aber per Definitionem ist [mm] $\IZ^\text{o} \subseteq \IZ$ [/mm] klar. Also bleibt nur [mm] $\IZ^\text{o}=\emptyset\,.$
[/mm]
Also:
Deine Überlegungen sind schon komplett richtig, aber Du solltest eigentlich bei sowas auch "Begründungen" ergänzen.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:15 Sa 03.03.2012 | | Autor: | mikexx |
Vielen Dank für die Antwort.
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