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| Aufgabe | Bestimmen sie sämtliche Lösungen und geben sie jeweil die menge an auf der die lösung existiert:
a)
[mm] \wurzel{3+x^2}*y'=x*y^2
[/mm]
b)
für weche Anfangswerte [mm] U_{0} \in \IR [/mm] existiert die Lösung des Anfangswertproblems
u'(t) = [mm] (e^U(t))*sin(t)
[/mm]
u(0)=0 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
bei der a) habe ich durch trennung der Variablen und durch integration folgendes ergebniss raus:
[mm] \wurzel{3+x^2}*y'=x*y^2
[/mm]
[mm] \gdw y'/y^2= x/\wurzel{3+x^2}
[/mm]
[mm] \gdw \integral {1/y^2 dy}= \integral {x/\wurzel{3+x^2} dx} [/mm] mit substitution [mm] x^2= [/mm] u
y = [mm] -1/\wurzel{3+x^2}+c
[/mm]
als menge der Lösungen habe ich:
c [mm] \not= \wurzel{3+x^2}
[/mm]
und x [mm] \not= \wurzel{c^2-3}
[/mm]
b)
aufgrund der Lipschitz-stetigkeit und des Satzes von Peano müsste gelten das für ein u(t) jeweils eine eindeutige Lösung existieren muss.
leider fehlt mir jedoch der Ansatz bei der b).
ich würde mich sehr freuen wenn jemand weiß wie man die b) angehen kann.
mfg
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ich habe mich bei der b) bei der aufgabenstellung vertippt.
es soll $ [mm] (e^{U(t)})\cdot{}sin(t) [/mm] $ statt $ [mm] (e^U(t))\cdot{}sin(t) [/mm] $ heißen
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sorry habe mich wieder vertippt bei der b) soll es heißen:
u'(t) = $ [mm] (e^U)\cdot{}sin(t) [/mm] $
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:01 Mo 01.12.2014 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen sie sämtliche Lösungen und geben sie jeweil die
> menge an auf der die lösung existiert:
> a)
> [mm]\wurzel{3+x^2}*y'=x*y^2[/mm]
>
> b)
> für weche Anfangswerte [mm]U_{0} \in \IR[/mm] existiert die
> Lösung des Anfangswertproblems
> u'(t) = [mm](e^U(t))*sin(t)[/mm]
Das lautet wohl so: [mm] $u'(t)=e^{u(t)}*sin(t)$
[/mm]
> u(0)=0
Was ist [mm] U_0 [/mm] ? Lautet die Anfangsbedingung etwa so: [mm] u(0)=U_0 [/mm] ?
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> bei der a) habe ich durch trennung der Variablen und durch
> integration folgendes ergebniss raus:
>
> [mm]\wurzel{3+x^2}*y'=x*y^2[/mm]
> [mm]\gdw y'/y^2= x/\wurzel{3+x^2}[/mm]
> [mm]\gdw \integral {1/y^2 dy}= \integral {x/\wurzel{3+x^2} dx}[/mm]
> mit substitution [mm]x^2=[/mm] u
> y = [mm]-1/\wurzel{3+x^2}+c[/mm]
O.K.
>
> als menge der Lösungen habe ich:
> c [mm]\not= \wurzel{3+x^2}[/mm]
> und x [mm]\not= \wurzel{c^2-3}[/mm]
Das ist Unsinn ! Die Lösungen [mm] y(x)=-\bruch{1}{\wurzel{3+x^2}}+c [/mm] existieren für alle x [mm] \in \IR.
[/mm]
>
> b)
> aufgrund der Lipschitz-stetigkeit und des Satzes von Peano
> müsste gelten das für ein u(t) jeweils eine eindeutige
> Lösung existieren muss.
> leider fehlt mir jedoch der Ansatz bei der b).
Trennung der Variablen !!
FRED
>
> ich würde mich sehr freuen wenn jemand weiß wie man die
> b) angehen kann.
>
> mfg
>
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