det(A*B)=det(A)*det(B) < Determinanten < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Beweisen Sie, dass für 2x2 matrizen gilt det(A*B)=det(A)*det(B) |
Hallo,
also für 2x2 matrizen war das kein Problem, das ist ja eher eine stupide Schreibarbeit. Auf der Lösung unseres Aufgabenblattes steht nun, ob wir sehen könnten, wie man das ganze eleganter und allgemeingültiger beweisen könnten.
Da kommt dann auch meine Frage ins Spiel. Ich habe Beweise mit der Leibniz-Formel gefunden, die mir aber nicht wirklich weitergeholfen haben, da wir die nie angewendet bzw. definiert haben. Meine Idee war nun, das ganze mit dem Laplace'schen Entwicklungssaz zu beweisen, also allgemein für eine Determinante mit der Entwicklung nach der ersten Zeile:
[mm] det(A)=\summe_{j=1}^{n}(-1)^{1+j}*a_{1j}*|A_{1j}|
[/mm]
Das Problem was ich nun hatte war, dass mir nicht ganz klar war, wie ich die Determinante für A*B aufschreiben sollte, die Idee war
[mm] det(A*B)=\summe_{j=1}^{n}\left(\summe_{j=1}^{n}a_{1j}*b_{j1}\right)*(-1)^{1+j}*|AB_{1j}|
[/mm]
Komme ich damit voran, oder ist das so sehr kompliziert zu machen, ich weiß nämlich nicht was mit [mm] |AB_{1j}| [/mm] passiert, das ist ja wieder eine Determinante.
LG
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Hallo!
> Beweisen Sie, dass für 2x2 matrizen gilt
> det(A*B)=det(A)*det(B)
> [mm]det(A)=\summe_{j=1}^{n}(-1)^{1+j}*a_{1j}*|A_{1j}|[/mm]
>
> Das Problem was ich nun hatte war, dass mir nicht ganz klar
> war, wie ich die Determinante für A*B aufschreiben sollte,
> die Idee war
>
> [mm]det(A*B)=\summe_{j=1}^{n}\left(\summe_{j=1}^{n}a_{1j}*b_{j1}\right)*(-1)^{1+j}*|AB_{1j}|[/mm]
>
> Komme ich damit voran, oder ist das so sehr kompliziert zu
> machen, ich weiß nämlich nicht was mit [mm]|AB_{1j}|[/mm]
> passiert, das ist ja wieder eine Determinante.
Ich kann deinem Ansatz gerade nicht ansehen, wie er zum Ziel führt. Wir haben das in der Vorlesung damals so bewiesen:
A [mm] \in K^{n\times n}
[/mm]
Fall 1: rang(A) < n.
Dann folgt relativ schnell det(A*B) = 0.
Fall 2: rang(A) = n, d.h. A regulär bzw. invertierbar. Dann lässt sich A als Produkt von Elementarmatrizen schreiben. Man muss jetzt also nur zeigen, dass gerade det(M*B)=det(M)*det(B) ist, wenn M Elementarmatrix.
Habt ihr das zur Verfügung?
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:05 So 02.05.2010 | | Autor: | MontBlanc |
Hallo Stefan,
nein, das haben wir nicht zur Verfügung, zumindest nicht in dem Kurs alleine. Für sich ist sowohl der Rang einer Matrix als auch die Determinante definiert, die Verbindung aber nicht hergestellt.
Naja, da kann ich wohl nichts machen!
Danke Dir für deine Antwort!
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:19 Mo 03.05.2010 | | Autor: | fred97 |
Bei 2x2-Matrizen kann man
det(A*B)=det(A)*det(B)
doch zu Fuß nachrechnen !!!
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:03 Mo 03.05.2010 | | Autor: | MontBlanc |
Hallo fred,
ja das schrieb ich ja oben schon, das habe ich auch gemacht. nur wurden wir auf dem lösungsblatt aufgefordert doch über einen "eleganteren" Beweis nachzudenken, und damit hatte ich mich beschäftigt.
Lg
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