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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:31 Sa 12.01.2008 | | Autor: | Kreide |
| Aufgabe | Es seien [mm] a_i, b_i [/mm] komplexe Zahlen.
i=1..n und [mm] a_i \not= -b_j [/mm] für alle i,j [mm] \in [/mm] {1,...,n}
Dann gilt....det [mm] (\bruch{1}{a_i+b_j}_{1\le i, j \le n}) =\bruch{\produkt_{i \le i< j \le n} (a_j-a_i)(b_j-b_i}{\produkt_{i \le i< j \le n} (a_i+b_j)}
[/mm]
vollständige induktion! |
Es handelt sich wie man sieht um eine Matrix
die Determinante ist auch gegeben, hab nur mal eine Frage zum Aufbau der Matrix, wie sieht die denn konkret aus? mich birngen die ganzen buchstaben a b i j irgendwie durcheinander
[mm] \pmat{ a_i b_{i+1} & a_i b_{j+1} ... \\a_{i+1}b_j & ..}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:12 So 13.01.2008 | | Autor: | Kreide |
kann mir einer mal bitte nur sagen wie die matrix aussieht?
Stimmt das?
[mm] \pmat{ a_i b_{i+1} & a_i b_{j+1} ... \\a_{i+1}b_j & ..}[/mm] [/mm]
Ich weiß nicht so ganz wo ich [mm] b_i [/mm] und [mm] a_i [/mm] unterandern soll, oder handelt es um ein produkt von 2 matrizen A und B?
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Die Matrix müsste so aussehen:
[mm] \pmat{ \bruch{1}{a_{1}+b_{1}} & \bruch{1}{a_{1}+b_{2}} & ... & \bruch{1}{a_{1}+b_{n}} \\ \bruch{1}{a_{2}+b_{1}} & \bruch{1}{a_{2}+b_{2}} & ... & \bruch{1}{a_{2}+b_{n}} \\ ... & ... & ... & ... \\ \bruch{1}{a_{n}+b_{1}} & \bruch{1}{a_{n}+b_{2}} & ... & \bruch{1}{a_{n}+b_{n}} }
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:29 So 13.01.2008 | | Autor: | Kreide |
ach du meine güte bin ich blöd!!! mir fällt es gerade wie schuppen von den augen!!!! natürlich muss sie so aussehen!!!! danke little_miss_body!!!!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:04 Mo 14.01.2008 | | Autor: | TheSaint |
also als tip steht ja induktion da und hab das jetzt probiert. für n = 2 lässt sich das auch prima beweisen in dem man zuerst die brüche wegmultipliziert (also so dann den nenner erhält aus der formel) und dann einfach die determinante berechnet. man erhält dann [mm] a_1b_1 [/mm] + [mm] a_2b_2-a_1b_2-a_2b_1
[/mm]
und das kann man umformen zu [mm] (a_2 [/mm] - [mm] a_1)(b_2 [/mm] - [mm] b_1) [/mm] also hat man auch den zähler. induktionsvorraussetzung also erfüllt aber ich hab keien ahnung wie ich da jetzt den induktionsschritt machen soll und kann mir auch nich vorstellen wie das dann mit n aussieht und so.
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Hallo,
wenn der Induktionsanfang steht, ist ja schon viel gewonnen.
Ich habe die Aufgabe nicht gerechnet, würde jedoch als nächstes mal versuchen, ob ich weiterkomme, wenn ich nach (z.B) der letzten Zeile entwickle.
Die Determinanten entstehenden Matrizen würde man ja mit der Induktionsvoraussetzung bearbeiten können, man müßte sich natürlich anschließend Gedanken über die Addition machen.
Gruß v. Angela
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...hat sich erledigt...
--Moment, bitte...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:05 Mo 14.01.2008 | | Autor: | Kreide |
was meinst du mit nenner wegmultiplizieren?
[mm] \bruch{1}{a_1+b_1}*\bruch{1}{a_2+b_2}-\bruch{1}{a_1+b_2}*\bruch{1}{a_2+b_1}
[/mm]
Wenn ich die beiden terme auf einen nenner bringe hab im nenner unten stehen
[mm] (a_{1}+b_{1})(a_{2}+b_{2})(a_{1}+b_{2})(a_{2}+b_{1}) [/mm] oder?
und das soll gleich [mm] (a_{1}+b_{1}) [/mm] sein (<- das steht ja im nenner von der formel die angegeben ist oder?)
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hi,
wegmultiplizieren...
...wie Angela gesagt hat, wegmultiplizieren.
...bitte ein bisserl selber nachdenken...
greez,
ts
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> was meinst du mit nenner wegmultiplizieren?
Leute, macht keine Witze!
Ich seh hier nirgendwo etwas v. "Nenner wegmultiplizieren", und schon gar nicht, daß ich das geschrieben habe...
Ich sagte TheSaint, daß man nach der Entwicklung über die Addition nachdenken muß, das kann man allerdings erst, wenn's mal aufgeschrieben dasteht.
An welcher Stelle hast Du, Kreide, denn hier jetzt Probleme mit irgendwelchen Nennern?
Ein Tip, ohne daß ich es gesehen habe: schreib' Dir's doch erstmal für n=5 auf, dann kannst Du bestimmt besser erkennen, ob und wie Du weiterkommst.
Gruß v. Angela
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