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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:05 So 02.06.2013 | | Autor: | JCBrache |
| Aufgabe | | Geben Sie eine Formel an für die Anzahl der normierten irreduziblen Polynome in Z/p[X] vom Grad 36 in Anhängigkeit von der Primzahl p. |
Hallo,
mein Ansatz ist:
Es gibt ja insgesamt p^36 solche Polynome.
Es gibt dann p^(q-1) -> also p^35 Polynome, die an der Stelle [mm] a0*X^0 [/mm] = 0. Wir ziehen nun diese Polynome ab: p^36 - p^35.
So, wie rechne ich am kleversten und effizientesten weiter?
lg Juan
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Hallo Juan,
dein Ansatz wird dich mit ziemlicher Sicherheit nicht zum Ziel führen.
Ist [mm] $GF(q)\subseteq [/mm] GF [mm] (q^n)$ [/mm] eine Erweiterung endlicher Körper (GF(x) stehe für den Körper mit x Elementen) so ist die Anzahl der primitiven Elemente dieser Erweiterung gerade das n-fache der Anzahl der normierten irred. Polynome vom Grad n (warum?).
Die primitiven Elemente lassen sich relativ leicht bestimmen, es sind die Elemente von [mm] $GF(q^n)$ [/mm] die in keinem Unterkörper bzgl. der Erweiterung liegen. (warum?)
P.S. Wo so oft gibts auch eine Formel von Gauss:
Die Anzahl normierter irreduzibler Polynome vom Grad n über dem Körper GF(q) ist:
[mm] $\frac{1}{n}\sum\limits_{d \mid n} [/mm] \ [mm] \mu(n/d) \cdot q^{d}$
[/mm]
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