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Zu zeigen: Jede stetig differentierbare Funktion ist in ihrem Definitionsbereich dehnungsbeschränkt.
Also, dehnungsbeschränkt ist offensichtlich das selbe wie Lipitz-stetig.
Unser Professor meinte der Beweis wäre ein Einzeiler.
Das Kriterium für Lipitz-stetigkeit
|f(x) - f(y)| [mm] \le [/mm] L |x-y|
so, nun teile ich durch |x-y| und habe dann da .... [mm] \le [/mm] L stehen.
Das was nun auf der linken Seite steht, ist, bis auf die Betragsstriche ja aber auch genau der linke Teil des Mittelwertsatzes. Reicht es jetzt diesen hier einfach einzusetzen und somit die mittlere Steigung als [mm] \le [/mm] der Lipitz-Konstanten zu zeigen ? Ich habe das Gefühl das ist irgendwie etwas mager, zumal ich die geometrische Bedeutung der Dehnungsbeschränktheit auch nicht wirklich verstanden habe.
ch habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Fabian!
> Zu zeigen: Jede stetig differentierbare Funktion ist in
> ihrem Definitionsbereich dehnungsbeschränkt.
> Also, dehnungsbeschränkt ist offensichtlich das selbe wie
> Lipitz-stetig.
> Unser Professor meinte der Beweis wäre ein Einzeiler.
> Das Kriterium für Lipitz-stetigkeit
> |f(x) - f(y)| [mm]\le[/mm] L |x-y|
> so, nun teile ich durch |x-y| und habe dann da .... [mm]\le[/mm] L
> stehen.
>
> Das was nun auf der linken Seite steht, ist, bis auf die
> Betragsstriche ja aber auch genau der linke Teil des
> Mittelwertsatzes. Reicht es jetzt diesen hier einfach
> einzusetzen und somit die mittlere Steigung als [mm]\le[/mm] der
> Lipitz-Konstanten zu zeigen ? Ich habe das Gefühl das ist
> irgendwie etwas mager, zumal ich die geometrische Bedeutung
> der Dehnungsbeschränktheit auch nicht wirklich verstanden
> habe.
Ein Spezialist für so etwas bin ich nicht, aber wenn der Prof meinte, es sei ein Einzeiler, dann könnte ich mir schon vorstellen, dass das so reicht.
Übrigens heißt es lipschitz-stetig (nicht lipitz-stetig) und meines Wissens ist das wirklich nur ein anderes Wort für dehnungsbeschränkt und gibt somit auch die geometrische Bedeutung an. Und zwar heißt das, dass die Funktionswerte nicht weiter als L*(die Argumente) voneinander entfernt liegen, also L ist die Dehnungs"beschränkende" (falls man das so sagen kann).
Oder nochmal anders formuliert:
Du hast eine Funktion f und natürlich irgendwelche Werte (x,y,z oder wie immer du sie nennen willst). Wenn du nun diese Werte mit der Funktion abbildest, dann ist der Abstand zwischen den Bildern (also zwischen f(x) und f(y)) nicht größer als eine Konstante mal den Abstand der Argumente (also x und y). Da es hierbei um den Abstand geht, wird der Betrag genommen.
Ich weiß nicht, wie ich es noch anders formulieren soll - eigentlich ist es nicht so schwierig.
Verstehst du es denn so?
Viele Grüße
Bastiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:26 Mo 24.01.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Fabian!
> Zu zeigen: Jede stetig differentierbare Funktion ist in
> ihrem Definitionsbereich dehnungsbeschränkt.
Die Aussage ist offenbar falsch.
Betrachte die Funktion [mm] $f:\IR \to \IR$, $f(x)=x^2$. [/mm] Annahme: Es gibt eine Konstante $L>0$ mit
$|f(x)- f(y)| = [mm] |x^2 [/mm] - [mm] y^2| \le [/mm] L [mm] \cdot [/mm] |x-y|$.
Wähle nun $x>y>L$, dann gilt mit der 3. Binomischen Formel:
[mm] $|x^2 [/mm] - [mm] y^2| [/mm] = [mm] |x+y|\cdot [/mm] |x-y| >2L [mm] \cdot [/mm] |x-y| > L [mm] \cdot [/mm] |x-y|$,
Widerspruch.
Man kann dagegen sagen, dass jede stetig differenzierbare Funktion in ihrem Definitionsbereich lokal Lipschitz-stetig ist (d.h. um jeden Punkt gibt es eine Umgebung, auf der $f$ Lipschitz-stetig ist) und daher Lipschitz-stetig, wenn der Definitionsberecih kompakt ist. Im Algemeinen ist die Aussage aber falsch, siehe oben.
Viele Grüße
Julius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:41 Mo 24.01.2005 | | Autor: | Rastaflip |
Also, der genaue Wortlaut:
Sei f : [a,b] [mm] \mapsto \IR [/mm] eine stetig diffbare Funktion. Zeigen sie, das f dann dehnungsbeschränkt ist.
Kommt dann der Beweis hin? Viel komplizierter kann es ja eigentlich nicht sein, denn der Mittelwertsatz soll definitiv schon fast die Lösung sein
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Sorry erstmal. Bin noch nicht Mathematiker genug um auf die exakten Definitionen zu achten. ich bin leichtsinnigerweise davon ausgegangen dass "in ihrem Definitionsbereich" dasselbe ist wie [a,b].
Trotzdem noch die Frage ob mein Lösungsansatz richtig ist? Wäre mir sehr hilfreich wenn ich diesbezüglich noch eine Meinung bekäme, müsste das nämlich morgen abgeben
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:09 Mo 24.01.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Ja, also noch einmal:
Für alle $x,y [mm] \in [/mm] [a,b]$ gibt es nach dem Zwischenwertsatz ein [mm] $\xi(x,y)$ [/mm] mit
$|f(x) - f(y)| = [mm] |f'(\xi(x,y))| \cdot [/mm] |x-y|$.
Daher gilt für alle $x,y [mm] \in [/mm] [a,b]$:
$|f(x) - f(y)| [mm] \le \sup\limits_{\xi \in [a,b]} |f'(\xi)| \cdot [/mm] |x-y|$.
Da $f'$ stetig und $[a,b]$ kompakt sind, gilt:
$0 [mm] \le [/mm] L := [mm] \sup\limits_{\xi \in [a,b]} |f'(\xi)| <\infty$.
[/mm]
Liebe Grüße
Julius
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