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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:21 Mo 26.11.2007 | | Autor: | Seppi |
| Aufgabe | Man berechne die folgenden Grenzwerte mit Hilfe der Regel von de l'Hospital:
[mm] \limes_{x\rightarrow0}(\bruch{1}{sin x}-\bruch{1}{x}) [/mm] |
Ich habe hier den unbestimmten Ausdruck vom Typ [mm] \infty-\infty [/mm] und habe ihn deshalb umgeformt auf den Ausdruck:
[mm] \limes_{x\rightarrow0}\bruch{x-sin x}{x*sinx }
[/mm]
Nach zweimaligem Ableiten von Zähler und Nenner komme ich auf den Ausdruck
[mm] \limes_{x\rightarrow0}\bruch{cos x}{sin x + x*cos x}
[/mm]
was eigentlich [mm] \bruch{1}{0} [/mm] bedeuten würde.
Mit de l'Hospital bin ich jetzt am Ende und meine Frage ist:
Kann ich einfach sagen, dass der Ausdruck [mm] \bruch{1}{0} [/mm] = [mm] \infty [/mm] ist?
Und wenn ja, kann das ein Grenzwert sein, oder bedeutet das, dass eben kein Grenzwert existiert?
Vielen Dank an alle, die sich mit dieser Frage beschäftigen.
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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> Man berechne die folgenden Grenzwerte mit Hilfe der Regel
> von de l'Hospital:
> [mm]\limes_{x\rightarrow0}(\bruch{1}{sin x}-\bruch{1}{x})[/mm]
> Ich
> habe hier den unbestimmten Ausdruck vom Typ [mm]\infty-\infty[/mm]
> und habe ihn deshalb umgeformt auf den Ausdruck:
> [mm]\limes_{x\rightarrow0}\bruch{x-sin x}{x*sinx }[/mm]
> Nach
> zweimaligem Ableiten von Zähler und Nenner komme ich auf
> den Ausdruck
> [mm]\limes_{x\rightarrow0}\bruch{cos x}{sin x + x*cos x}[/mm]
Hallo,
wenn ich zweimal ableite, sieht das anders aus, allerdings reißt es die Sache auch nicht raus, mein spontaner Hospitalversuch ging ins Leere.
Allerdings: wenn man die Funktion zeichnet, sieht man, daß der Grenzwert 0 ist.
Irgendwie muß man da geschickter herangehen...
Gruß v. Angela
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Hallo Seppi!
Da solltest Du dann mal vorrechnen, wie Du auf diesen Ausdruck nach 2-mal de l'Hospital kommst.
Wie Angela erhalte ich als Grenzwert $0_$ . Und nach der ersten de l'Hospital-Anwendung steht bei mir:
$$... \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{1-\cos(x)}{\sin(x)+x*\cos(x)} [/mm] \ = \ ...$$
Gruß vom
Roadrunner
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> Und nach der
> ersten de l'Hospital-Anwendung steht bei mir:
> [mm]... \ = \ \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{1-\cos(x)}{\sin(x)+x*\cos(x)} \ = \ ...[/mm]
Hallo,
ja, aber wenn man jetzt weiter fröhlich ableitet, kommt man auch nicht auf Besseres als Seppi.
Man muß hier wohl weitermachen mit
[mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{1-\cos(x)}{\sin(x)+x*\cos(x)}=\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{\bruch{1}{cosx}-1}{\bruch{sinx}{cosx}+x}
[/mm]
Und dann wieder Hospital. Wenn ich mich nicht verrechnet habe, bekommt man so da gewünschte Ergebnis.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:05 Mo 26.11.2007 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo Angela!
Die 2. l'Hospitalschen Anwendung liefert mir:
[mm] $$\limes_{x\rightarrow 0}\bruch{1-\cos(x)}{\sin(x)+x\cdot{}\cos(x)} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{\sin(x)}{\cos(x)+\cos(x)-x*\sin(x)} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{\sin(x)}{2*\cos(x)-x*\sin(x)}$$
[/mm]
Und das strebt doch wunderbar gegen [mm] $\bruch{0}{2+0} [/mm] \ = \ 0$ .
Gruß vom
Roadrunner
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In der Tat herrlich, Dein Ergebnis!!!
In meiner 1. Ableitung gab's ein Minus an der falschen Stelle.
Gruß v. angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:18 Mo 26.11.2007 | | Autor: | Seppi |
Ich hab mich ein kleines bisschen vertan...
es war nicht das zweite mal sondern das dritte mal Ableiten nach de l'Hospital.
Hier nocheinmal meine rechnung:
[mm] \limes_{x\rightarrow0}\bruch{(x-sinx)'}{(x*sinx)'}
[/mm]
[mm] =\limes_{x\rightarrow0}\bruch{1-cosx}{sinx+x*cosx}
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow0}\bruch{(1-cosx)'}{(sinx+x*cosx)'}
[/mm]
[mm] =\limes_{x\rightarrow0}\bruch{sinx}{-cosx+cosx-x*sinx}
[/mm]
[mm] =\limes_{x\rightarrow0}\bruch{sinx}{-x*sinx}
[/mm]
hier habe ich einen Fehler gemacht...hatte nämlich [mm] \limes_{x\rightarrow0}\bruch{sinx}{x*sinx} [/mm] da stehen
[mm] \limes_{x\rightarrow0}\bruch{(sinx)'}{(-x*sinx)'}
[/mm]
[mm] =\limes_{x\rightarrow0}\bruch{cosx}{-(sinx+x*cosx)}
[/mm]
aber damit wäre ich jetzt wieder bei dem Problem, das ich am Anfang hatte.
Wo habe ich noch Fehler, und warum ist der Grenzwert 0?
Vielleicht hat noch jemand Zeit für mich??
Vielen Dank!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:21 Mo 26.11.2007 | | Autor: | Seppi |
Hab schon gesehen...wo der Felher liegt.
vielen Dank Angela und Roadrunner!
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> Ich hab mich ein kleines bisschen vertan...
> es war nicht das zweite mal sondern das dritte mal
> Ableiten nach de l'Hospital.
> Hier nocheinmal meine rechnung:
> [mm]\limes_{x\rightarrow0}\bruch{(x-sinx)'}{(x*sinx)'}[/mm]
>
> [mm]=\limes_{x\rightarrow0}\bruch{1-cosx}{sinx+x*cosx}[/mm]
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow0}\bruch{(1-cosx)'}{(sinx+x*cosx)'}[/mm]
>
> [mm]=\limes_{x\rightarrow0}\bruch{sinx}{-cosx+cosx-x*sinx}[/mm]
Hallo,
Du machst heir den Fehler, den ich vorhin auch gemacht habe: der Nenner ist falsch abgeleitet. Es sit die Ableitung v. sin doch +cos.
Gruß v. Angela
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