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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:23 Mi 01.02.2006 | | Autor: | AriR |
(frage zuvor nicht gestellt)
Hey Leute, ich glaube ich hab heute irgendwie mal wieder einen black out.
Angenommen ich habe folgende lineare Abb. [mm] f:\IR^3 \to \IR^3
[/mm]
f(x,y,z)=(x+y,y,z)
und ich möchte hierzu die darst. Matrix bzgl. der Standardbasen:
Dann kann man das ja mit der konstruktionsvorschrift machen, wobei man die basis erst abbilden muss, dann in abhängigkeit der anderen wieder aufschreiben usw.
Die Matrix ist dann die identisch zu der, die ich rausbekomme per folgender Konstruktion:
f( [mm] \vektor{x \\ y \\z})= \vektor{x+y \\ y \\z}= \vektor{1x+1y+0z \\ 0x+1y+0z \\ 0x+0y+1z}= \pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 } [/mm] * [mm] \vektor{x \\ y \\z}
[/mm]
nur warum ist das gleich?? hat dafür jemand eine anschauliche erklärung?
danke schonmal im voraus =) Gruß Ari ;)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:49 Mi 01.02.2006 | | Autor: | Franzie |
Hallöchen!
Hast du schon mal was vom kanonischen Basisisomorphismus gehört?
Das ist nämlich die Antwort auf deine Frage.
liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:50 Mi 01.02.2006 | | Autor: | AriR |
leider nein.. kann man das irgendwo im netz nachlesen??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:03 Mi 01.02.2006 | | Autor: | Franzie |
Weiß nicht genau, kannst ja mal ein bisschen surfen. Ich geb dir hier mal das, was ich in der Vorlesung dazu hatte:
Sei B=(v1,...,vn) Basis eines K-Vektorraumes und (e1,...,en) die kanonische Basis von [mm] K^{n}. [/mm] Dann gibt es (nach einem gewissen Satz über Beschreibung lineare Abbildung durch die Bilder einer Basis) einen eindeutig bestimmten Isomorphismus
phi: [mm] K^{n} \to [/mm] V mit [mm] phi(e_{i})=v_{i}
[/mm]
Dieser heißt kanonischer Basisisomorphismus und beschreibt den Zusammenhang zwischen Vektoren und ihren Koordinatenv ektoren bezüglich einer Basis B.
[mm] phi:K^{n} \to [/mm] V [mm] :\vektor{ \lambda 1\\ ... \\ \lambda n}\mapsto \lambda [/mm] 1*v1+...+lambda n*vn (wobei deine v1,...,vn die Standardbasis ist)
Und mit diesem Isomorphismus lassen sich Aussagen über Elemente von V in gleichwertige Aussagen über Elemente von [mm] K^{n} [/mm] umwandeln und umgekehrt.
Hoffe, das hilft ein wenig. Im Beutelspacher gibt es auf jeden Fall was darüber zum Nachlesen.
liebe Grüße
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