cos / Sin Nullstellen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
[Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt]
Also: Ich habe hier die Funktion f(x) = sin (x) + a * cos (x)
Die Nullstellen sind gesucht und ich habe die Lösung: x=- [mm] \bruch{\pi}{4} [/mm] + [mm] k*\pi
[/mm]
Leider habe ich keine Ahnung wie man darauf kommt. Ich wäre über eine ausführliche Antwort echt wirklich dankbar und hoffe dass mir hier jemand helfen kann.
MfG Balliballi
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:12 Mo 03.01.2005 | | Autor: | andreas |
hi
ich bin mir recht sicher, dass die lösung, die du angibst nicht stimmen kann, da diese i.a. von [m] a [/m] abhängen muss. siehe skizze (die rote kurve stellt die funktion für [m] a = 1 [/m], die grüne kurve stellt die funktion für [m] a = - 1 [/m] dar). die beiden funktionen haben aber offensichtlich verschiedene nullstellen
[Dateianhang nicht öffentlich]
nun zu deinem rechnerischen problem: du willst [m] \sin x + a \cos x = 0 [/m] lösen. indem man nun [m] a \cos x [/m] auf beiden seiten abzieht und dann durch [m] \cos x [/m] teilt (hier muss man bestimmte [m] x [/m] ausnehmen damit man nicht durch null teilt!), so erhält man
[m] -a = \frac{\sin x}{\cos x} = \tan x [/m],
also muss [m] x = \arctan (-a) = - \arctan a [/m] sein (da [m] \arctan [/m] eine zum ursprung punktsymmetrische, also "ungerade" funktion ist). das kann man jetzt eben nur für bestimmte [m] a [/m] "explizit" (also mit [mm] $\pi$ [/mm] etc) bestimmen!
probiere die rechnung mal nachzuvollziehen, wenn noch probleme auftauchen, kannst du ja einfach nachfragen.
grüße
andreas
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
So weit konnte ich die Lösung nachvollziehen.
Wenn ich nun also als Ergebnis x = tan^(-1) (a) rausbekomme, sagt mir das aber doch noch nicht das Ergebnis.
Setze ich a = 3, so kriege ich für x ca. 1,23 heraus. Setze ich aber diese beiden Zahlen in die Ausgansgleichung ein, dann habe ich eine Ungleichung, weil nicht Null heraus kommt.
Ich bin mit meinem Latein am Ende...
Vieleicht findet sich ja jemand der mir aus dieser Situation helfen kann.
Auf jeden Fall aber bedanke ich mich erstmal bei Andreas für die schnelle Antwort -!-!-!-
|
|
|
| |
|
Da mußt Du dich irgendwie verrechnet haben, denke ich, ich jedenfalls
finde da keinen Fehler... vielleicht hast Du an deinem Taschenrechner nicht den Modus "rad" für Bogenmaß eingestellt?
Gruß,
Christian
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:26 Mo 03.01.2005 | | Autor: | andreas |
hi
vielleicht liegt dein fehler auch darin, dass ein minus fehlt. bei mir war [m] x = \red{-} \arctan(a) [/m].
andreas
|
|
|
| |
|
Hallo,
schreibe die Funktion f(x) wie folgt:
[mm]f(x)\; = \;\sin \left( x \right)\; + \;a\;\cos (x) = \;A\;\sin \left( {x + B} \right)\; = \;A\;\sin \left( x \right)\;\cos \left( B \right)\; + \;A\;\cos (x)\;\sin (B)
[/mm]
Durch Koeffizientenvergleich erhält man folgende Gleichungen:
[mm]\begin{array}{l} A\;\sin (B)\; = \;a \\ A\;\cos (B)\; = \;1 \\
\end{array}[/mm]
woraus sich
[mm]\begin{array}{l} B\; = \;\arctan (a) \\ A\; = \;\sqrt {1 + a^2 } \\
\end{array}[/mm]
ergeben.
Die Funktion läßt sich also so schreiben:
[mm]f(x)\; = \;\sqrt {1 + a^2 } \;\sin \left( {x + \arctan (a)} \right)[/mm]
Nun braucht man nur noch zu wissen, wann die Sinus-Funktion den Wert 0 annimmt.
Es ergeben sich also für die Nullstellen:
[mm]x_{k}\; = \;k\pi \; - \;\arctan (a) [/mm], [mm]k \in \IZ[/mm]
Gruss
MathePower
|
|
|
|
