charakteristisches Polynom < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:55 Fr 18.03.2005 | | Autor: | Pit |
Hallo zusammen,
heute las ich Folgendes in einem Numerik - Skript :
Das charakteristische Polynom einer nxn - Matrix ist definiert :
p(z)= det (A - zE) , z [mm] \in [/mm] CI
Ein paar Zeilen darunter :
Das charakteristische Polynom besitzt mit seinen Nullstellen [mm] \lambda_{i} [/mm] die Darstellung p(z) = [mm] \produkt_{i=1}^{m} [/mm] (z - [mm] \lambda_{i} )^{a_{i}}
[/mm]
mit [mm] \summe_{i=1}^{m} a_{i} [/mm] = n. ,z [mm] \in [/mm] CI
[mm] a_{i} [/mm] sind die algebraischen Vielfachheiten der Eigenwerte.
Wie passen folgende Aussagen zusammen, z.B. wenn n=3 ist ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:06 Fr 18.03.2005 | | Autor: | bazzzty |
Welche "folgenden Aussagen"?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:50 Fr 18.03.2005 | | Autor: | Pit |
Uups, ersetze folgende durch obige 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:27 Fr 18.03.2005 | | Autor: | bazzzty |
Da mir immer noch nicht so ganz klar ist, was die Frage ist, taste ich mich mal vor, wo Fragen sind, einfach nachfragen:
Angenommen, Du hast eine Matrix [mm]A[/mm]aus [mm] \IR^3[/mm]. Das Polynom [mm]p(z)=\det (A-zI)[/mm] ist ein Polynom vom Grad 3. Dieses Polynom hat drei Nullstellen, darunter gegebenenfalls ein Paar komplex. Eine Nullstelle dieses Polynoms ist immer auch ein Eigenwert, denn wenn für ein bestimmtes [mm]\lambda[/mm] gilt, daß [mm]det(A-\lambda I)=0[/mm], dann gibt es mindestens einen von Null verschiedenen Vektor [mm]x_\lambda[/mm], so daß [mm](A-\lambda I)x_\lambda=0[/mm] und damit [mm]Ax\lambda=\lambda x_\lambda[/mm].
Die Nullstellen des Polynoms müssen nicht alle paarweise verschieden sein, das charakteristische Polynom könnte zum Beispiel [mm](z-3)^2(z+1)[/mm] sein (schon in Faktoren zerklegt). Dann ist die algebraische Vielfachheit des Eigenwerts 3 zwei.
Das wiederum bedeutet, das der Hauptraum zum Eigenwert zwei zweidimensional ist, gegebenenfalls sogar der Eigenraum, falls die Matrix diagonalisierbar ist. Darauf kann ich noch eingehen, falls Interesse besteht.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:05 Mo 21.03.2005 | | Autor: | Pit |
Ja,danke erstmal für die Antwort.
Was ich genau meinte ist:
Wenn ich z.B die Matrix
300
030
003
habe,hat diese ja das charakt.Polynom
p(z)= det(A-zI)= [mm] (3-z)^3
[/mm]
Wie lässt sich jetzt p(z) in der Form [mm] \produkt_{i=1}^{m} [/mm] (z- [mm] \lambda_ {i})^{a_{i}} [/mm]
mit [mm] \summe_{i=1}^{m} a_{i} [/mm] = n schreiben? [mm] \lambda_{i} [/mm] Eigenwerte
[mm] a_{i} [/mm] algebraische Vielfachheiten der Eigenwerte.
Leuchtet mir nicht ein .
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Hallo!
> p(z)= det(A-zI)= [mm](3-z)^3
[/mm]
>
> Wie lässt sich jetzt p(z) in der Form [mm]\produkt_{i=1}^{m}[/mm]
> (z- [mm]\lambda_ {i})^{a_{i}}[/mm]
> mit [mm]\summe_{i=1}^{m} a_{i}[/mm] = n schreiben? [mm]\lambda_{i}[/mm]
> Eigenwerte
> [mm]a_{i}[/mm] algebraische Vielfachheiten der Eigenwerte.
>
> Leuchtet mir nicht ein .
Das Polynom ist im Prinzip ja schon in dieser Form.
Meines Erachtens brauchst Du aber noch ein Vorzeichen, sonst kannst Du ein allg. Polynom nicht so darstellen...
Dann hättest Du: [mm]p(z)=(3-z)^3=(-(z-3))^3=-(z-3)^3=-\produkt_{i=1}^{m}(z- \lambda_ {i})^{a_{i}}=-\produkt_{i=1}^{1}(z- 3)^{3}[/mm]
(Wobei Du bei diesem speziellen Polynom eben nur die eine algebraische Vielfachheit 3 hast, weswegen die Schreibweise mit Produktzeichen etwas ad absurdum geführt wird)
Gruß,
Christian
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