charakteristisches Polynom < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:01 Fr 21.01.2005 | | Autor: | Nette20 |
Hallöchen zusammen!
In meiner Vl wurde zur Berechnung des charakt. Polynoms immer eine 3x3-Matrix verwendet.
Die Berechnung des charak.Polynoms für eine 3x3-Matrix habe ich auch verstanden.
Heute schrieb der Prof auf einmal eine 4x4-Matrix an.
Wieso addiere ich die Einträge auf der Diagonalen denn alle mit (2x)? bzw. wie würde sich das charakt. Polynom dann für "höhere" Matrizen (nxn) berechnen lassen?
Vielen lieben Dank für Eure Hilfe!
Nette
Ich hab die Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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Hallo Nette!
Für eine Matrix [mm] A \in \IR^{n \times n}[/mm] ist das charakteristische Polynom [mm]\chi_A[/mm] wie folgt definiert:
[mm]\chi_A(x) = \det(A-x*I)[/mm], wobei I die Einheitsmatrix in der entsprechenden Grösse ist.
Das heisst, dass Du Dir also als erstes mal A-x*I aufschreibst.
Da Du nun die Determinante dieser Matrix berechnen musst, kannst Du zum Beispiel nach einer Zeile entwickeln oder Zeilen- und Spaltenoperationen benutzen.
Für eine 2x2 Matrix kannst du die Determinante ganz einfach berechnen:
[mm]\det(A) =\det( \begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}) = a*d - c*d[/mm].
Für eine 3x3 Matrix kann man zum Beispiel die Regel von Sarrus benutzen.
> Heute schrieb der Prof auf einmal eine 4x4-Matrix an.
>
> Wieso addiere ich die Einträge auf der Diagonalen denn alle
> mit (2x)? bzw. wie würde sich das charakt. Polynom dann für
> "höhere" Matrizen (nxn) berechnen lassen?
>
Das ist nun schwer zu sagen, dazu solltest Du das Beispiel bis zu dieser Stelle mal ins Forum stellen.
Das scheint mir sehr spezifisch zu sein!
Sorry, aber mehr kann ich Dir so nicht sagen, wäre nur spekuliert!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:00 Sa 22.01.2005 | | Autor: | Nette20 |
Hallo!
Ich habe jetzt mal schnell die Vl-Unterlagen rausgesucht.
Die Aufgabenstellung verlangte zu überprüfen, ob die induzierte Abbildung diagonalisierbar ist.
B= [mm] \pmat{ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 2 & 0 }
[/mm]
Um das charak. Polynom [mm] \cal{X}_{B} [/mm] zu berechnen geht mein Prof wie folgt vor:
[mm] \cal{X}_{B} [/mm] = det (B - [mm] xI_{4})
[/mm]
= det [mm] \pmat{ 2x & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 2x+2 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 2x+2 & 2 \\ 2 & 2 & 2 & 2x }
[/mm]
= 2x det [mm] \pmat{ 2+2x & 1 & 2 \\ 2 & 2+2x & 2 \\ 2 & 2 & 2x } [/mm] + det [mm] \pmat{ 0 & 1 & 1 \\ 2+2x & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 2x } [/mm] + det [mm] \pmat{ 0 & 1 & 1 \\ 2+2x & 1 & 2 \\ 2 & 2+2x & 2 }
[/mm]
= 2x (2* [mm] (x^{3} [/mm] + x + [mm] 2x^{2}) [/mm] + 1 + 2 + 1 + x + 2x + 1 + x) + (1 + 1 + x + [mm] 2x^{2} [/mm] + 2x + 1) + (1 + [mm] x^{2} [/mm] + 2x + 1 + 2 + 2x + 1
= [mm] x^{4} [/mm] + [mm] 2x^{3} [/mm] + 2x + 2
[mm] \Rightarrow \cal{X}_{B}(0)=2, \cal{X}_{B}(1)=1, \cal{X}_{B}(2)=2.
[/mm]
Die B entsprechende lineare Abb. ist nicht diagonalisierbar.
Leider verstehe ich die Vorgehensweise überhaupt nicht. Wie gesagt, für eine 3x3 ist es mir klar.
Aber warum bei 4x4 jetzt so.
Und warum sind die charak.Polynome so "komisch"?
Danke für Eure Hilfe.
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Hallo Nette!
Ich verstehe das uch nicht, wenn ihr in den reellen Zahölen gerechnet habt!
Ich habe das charakterische Polynom mal von MAPLE berechnen lassen und da kam raus:
[mm]x^4-4*x^3-9+x^2+8*x+2[/mm].
Die Determinante der 4x4 Matrix ist übrigens nach der ersten Spalte entwickelt:
Dazu nimmt man den ersten Eintrag der ersten Spalte und multipliziert diesen mit der restliche 3x3 Untermatrix. Entsprechend für die anderen Einträge.
Das kann man aber gut erkennen, wie man das macht.
Falls da noch Probleme haben solltest, melde dich dies bezüglich nochmal.
Was mir aber gerade noch einfällt:
Habt ihr vielleicht in einem Körper gerechnet?
Evtl. im [mm]\IF_3= \IZ_3[/mm]-Körper?
Das würde einiges erklären.
Betrachte nur mal den ersten Eintrag: eigentlich sollte da stehen: -x.
Richtig?
Jetzt steht da:2x
Und im [mm]\IF_3= \IZ_3[/mm]-Körper ist -x = 2x
(es gibt also nur die Zahlen 0,1,2.
Subtraktion kann man dann umrechnen durch 3x - x= 2x.
Entscheidend ist also die 3!!!)
Dann könnte es doch stimmen!!!
Bis dann!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:38 Sa 22.01.2005 | | Autor: | Nette20 |
Hi!
Ich habe leider den Aufgabenzettel nicht zur Hand. Aber Du könntest recht haben, dass die Berechnung in [mm] \IZ_{3} [/mm] ist. Dann ergibt es ja auch Sinn.
Allerdings verstehe ich nicht ganz, wie sich die Determinanten nach Auflösung des erstens Vektors zusammensetzen.
Die erste übrige 3x3-Martix nehme ich mit 2x mal.
Aber warum nehme ich die anderen nur mit 1 mal.
Eigentlich müsste ich dann ja eine "Restmatrix" mit Null (fällt also weg), eine mit 1 und eine mit 2 addieren.
Aber wo ist die "2" (Position [mm] a_{4,1} [/mm] )?
Zitat:
... = det [mm] \pmat{ 2x & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 2x+2 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 2x+2 & 2 \\ 2 & 2 & 2 & 2x }
[/mm]
= 2x det [mm] \pmat{ 2+2x & 1 & 2 \\ 2 & 2+2x & 2 \\ 2 & 2 & 2x } [/mm] + det [mm] \pmat{ 0 & 1 & 1 \\ 2+2x & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 2x } [/mm] + det [mm] \pmat{ 0 & 1 & 1 \\ 2+2x & 1 & 2 \\ 2 & 2+2x & 2 }
[/mm]
Zitat:
Die Determinante der 4x4 Matrix ist übrigens nach der ersten Spalte entwickelt:
Dazu nimmt man den ersten Eintrag der ersten Spalte und multipliziert diesen mit der restliche 3x3 Untermatrix. Entsprechend für die anderen Einträge.
Das kann man aber gut erkennen, wie man das macht.
Danke!
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Hallo Nette!
Okay,wir sind uns ja nun schon einig, dass die Matrix aus dem [mm]\IF_3[/mm]-Körper ist.
Ferner ist die Determinante nach der ersten Spalte entwickelt.
Schauen wir uns also die Sache nochmal an:
Und ich sage: Du hast Recht. Da fehlt eindeutig die 2!
Das scheint dann wohl ein kleiner Flüchtigkeitsfehler gewesen sein.
Habe Nachsicht  !
Ich hoffe, dass damit alles klar ist.
Ansonsten melde Dich ruhig noch mal!
Ciao!
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