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Forum "Uni-Stochastik" - charakteristische Funktion
charakteristische Funktion < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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charakteristische Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:12 Mo 28.11.2011
Autor: MattiJo

Aufgabe
Seien [mm] X_1, [/mm] ..., [mm] X_n [/mm] : [mm] \Omega \to \IR [/mm] unabhängige und identisch verteilte Zufallsvariablen mit Dichte [mm] f_{X_1}(x) [/mm] = [mm] \bruch{1}{\pi}\bruch{1}{1+x^2}. [/mm] Bestimmen Sie (mittels der charakteristischen Funktion) die Verteilung der Zufallsvariablen Z = [mm] \bruch{1}{n} \summe_{i=1}^{n} X_i [/mm]

Hallo,

ich habe zu der Aufgabe Fragen bezüglich der Vorgehensweise.

1) entspricht die charakteristische Funktion hier der Fourier-Transformierten?
2) wie komme ich anschließend auf die Verteilung von Z?

Vielen Dank schon im Voraus für alle Hilfen!

        
Bezug
charakteristische Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:37 Mo 28.11.2011
Autor: wieschoo


> Seien [mm]X_1,[/mm] ..., [mm]X_n[/mm] : [mm]\Omega \to \IR[/mm] unabhängige und
> identisch verteilte Zufallsvariablen mit Dichte [mm]f_{X_1}(x)[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{\pi}\bruch{1}{1+x^2}.[/mm] Bestimmen Sie (mittels
> der charakteristischen Funktion) die Verteilung der
> Zufallsvariablen Z = [mm]\bruch{1}{n} \summe_{i=1}^{n} X_i[/mm]
>  
> Hallo,
>  
> ich habe zu der Aufgabe Fragen bezüglich der
> Vorgehensweise.
>  
> 1) entspricht die charakteristische Funktion hier der
> Fourier-Transformierten?

Ja
                        [mm]\varphi_{X}(t):=\mathbb{E}\left(e^{\mathrm{i}tX}\right)=\int_{\Omega}e^{\mathrm{i}tX}\,\mathrm{d}P\[/mm]

>  2) wie komme ich anschließend auf die Verteilung von Z?

Für unabhängige ZV [mm]X_1,X_2[/mm] mit [mm]Y=X_1+X_2[/mm] gilt doch

                       [mm]\varphi_{Y}(t)=\varphi_{X_{1}}(t)\,\varphi_{X_{2}}(t)\,[/mm]




Bezug
                
Bezug
charakteristische Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:45 Mo 28.11.2011
Autor: MattiJo

Vielen Dank soweit!

> >  2) wie komme ich anschließend auf die Verteilung von Z?

>  Für unabhängige ZV [mm]X_1,X_2[/mm] mit [mm]Y=X_1+X_2[/mm] gilt doch
>  
> [mm]\varphi_{Y}(t)=\varphi_{X_{1}}(t)\,\varphi_{X_{2}}(t)\,[/mm]
>  
>

Okay, dann habe ich die charakteristische Funktion für die Variable Z. Jetzt brauche ich noch die Verteilung. Wie komme ich da hin?

Bezug
                        
Bezug
charakteristische Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:22 Mo 28.11.2011
Autor: wieschoo

Spezialfall (2 ZV):

Es handelt sich übrigens um die Cauchyverteilung(Zentrum = 0,Breitenparameter=1).
Du solltest
                             [mm]\mathbb{E}[e^{\mathrm{i}tX_i}]=e^{-|t|}[/mm].
berechnen.

Für zwei stoch. unabhängige Zufallsvariablen [mm]X_1,X_2[/mm] (cauchyverteilt) und [mm]Y:=\frac{X_1+X_2}{2}[/mm]
gilt

                              [mm]\mathbb{E}[e^{\frac{\mathrm{i}t(X_1+X_2)}{2}}]=\mathbb{E}[e^{\frac{\mathrm{i}tX_1}{2}}]*\mathbb{E}[e^{\frac{\mathrm{i}tX_2}{2}}]=\ldots[/mm]

nur ausrechnen.




Bezug
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