char Polynom der Rationalen NF < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:05 Fr 29.06.2012 | | Autor: | triad |
| Aufgabe | Sei K ein Körper und sei
[mm] A=\pmat{ 0 & 0 & \ldots & 0 & -a_0 \\ 1 & 0 & \ldots & 0 & -a_1 \\
0 & 1 & \ldots & \vdots & \vdots \\ \vdots & 0 & \ldots & \vdots & \vdots \\
\vdots & \vdots & \ldots & \vdots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \ldots & 0 & -a_{n-2} \\ 0 & 0 & \ldots & 1 & -a_{n-1} }\in M_n(K).
[/mm]
Zeigen Sie folgende Aussagen:
a) Für das charakteristische Polynom von A gilt:
$ A = [mm] (-1)^n(x^n [/mm] + [mm] a_{n-1}x^{n-1} [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + a_1x + [mm] a_0).$
[/mm]
b) Für jeden Eigenwert [mm] \lambda [/mm] von A hat der zugehörige Eigenraum die Dimension 1. |
Hallo,
Beweis: Induktion nach n: n=1: Begleitmatrix ist die [mm] $1\times [/mm] 1$-Matrix [mm] (-a_0).
[/mm]
Charakteristisches Polynom: [mm] det(-a_0-x)=(-1)^1(x+a_0).
[/mm]
n=2:
[mm] det\pmat{ -x & -a_0 \\ 1 & -a_1-x } [/mm] = [mm] x^2+a_1x+a_0 [/mm] = [mm] (-1)^2(x^2+a_1x+a_0).
[/mm]
Induktionsschluß: Entwicklung nach der ersten Zeile
[mm] det\pmat{ x & 0 & \ldots & 0 & a_0 \\ -1 & x & \ldots & 0 & a_1 \\
0 & -1 & \ldots & 0 & a_2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & \ldots & -1 & x+a_{n-1} }=xdet\pmat{ x & 0 & \ldots & 0 & a_1 \\ -1 & x & \ldots & 0 & a_2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & \ldots & -1 & x+a_{n-1} }+(-1)^{n+1}a_0det\pmat{ -1 & x & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & -1 & x & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0& \ldots & -1 }
[/mm]
[mm] =x(x^{n-1}+a_{n-1}x^{n-2}+...+a_2x+a_1)+a_0
[/mm]
[mm] =(-1)^n(x^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0).
[/mm]
Kann man das so lassen?
zu b): Hier komme ich auf keinen Ansatz. Damit jeder Eigenraum die Dimension 1 hat, muss jeder Eigenwert die Vielfachheit 1 haben, also muss das char. Polynom in Linearfaktoren zerfallen. <- Stimmt die Aussage? Kann ich die Eigenräume/-werte irgendwie allgemein ausrechnen, oder über was muss ich da gehen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:01 Sa 30.06.2012 | | Autor: | it123 |
a) Wenn man nach der ersten Spalte entwickelt, dann stimmt doch deine zweite Determinante nicht. Hier musst du die zweite Zeile und erste Spalte streichen. Somit steht in der ersten Zeile als erster Eintrag eine 0. (Zumindest habe ich es so gemacht).
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:18 So 01.07.2012 | | Autor: | triad |
nochmal was zur b)
Für jeden Eigenwert [mm] \lambda [/mm] von A hat der zugehörige Eigenraum die Dimension 1.
Um das zu zeigen, müsste man zeigen, dass das char. Polynom in Linearfaktoren zerfällt. Also [mm] $\chi_A(X)=(-1)^n(x^n [/mm] + [mm] a_{n-1}x^{n-1} [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + a_1x + [mm] a_0) [/mm] = [mm] (-1)^n(X-\lambda_1)\cdot{}\ldots\cdot{}(X-\lambda_n).$ [/mm] Dann ist ja die Vielfachheit von jedem Eigenwert Eins und man könnte Lemma 6.3* aus LA1 [mm] 1\le dim_K V(A,\lambda)\le \mu(\chi_A(X),\lambda)=1 [/mm] anwenden. Oder man müsste zeigen, dass A diagonalisierbar ist, damit man mal nen Ansatz hat und in den Satz* reinkommt.
Aber das ist gerade die Hürde, die ich nicht nehmen kann.
*
Lemma 6.3. Sei [mm] \lambda [/mm] Eigenwert von F, so gilt: [mm] 1\le dim_K\;V(F,\lambda)\le \mu(\chi_F(X),\lambda).
[/mm]
Satz 6.4. Sei [mm] dim_K\;V=n, F\in End_K(V), [/mm] dann sind äquivalent:
i) F ist diagonalisierbar,
ii) [mm] \chi_F(X) [/mm] zerfällt in Linearfaktoren und [mm] dim_K\;V(F,\lambda)=\mu (\chi_F(X),\lambda) [/mm] für alle Eigenwerte [mm] \lambda [/mm] von F,
iii) sind [mm] \lambda_1,...,\lambda_k [/mm] die paarweise verschiedenen Eigenwerte von F, so ist [mm] V=V(F,\lambda_1)\oplus...\oplus V(F,\lambda_k).
[/mm]
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> zu b): Hier komme ich auf keinen Ansatz. Damit jeder
> Eigenraum die Dimension 1 hat, muss jeder Eigenwert die
> Vielfachheit 1 haben, also muss das char. Polynom in
> Linearfaktoren zerfallen. <- Stimmt die Aussage? Kann ich
> die Eigenräume/-werte irgendwie allgemein ausrechnen, oder
> über was muss ich da gehen?
Kommt darauf an, ob ihr die Frobenius-Normalform schon eingeführt habt. Du schriebst ja schon rationale Normalform.
Du kannst doch auch zeigen, dass es genau n verschiedene Eigenwerte sind.
Würde ein Eigenwert doppelt vorkommen [mm] $e,e'\;$, [/mm] so ließe sich das charakteristische Polynom schreiben als [mm] $\chi_A=f*g$ [/mm] mit $f=X-e$.
Dann würde aber auch die Matrix A anders aussehen. Die Matrix ist eben die Begleitmatrix zum Polynom [mm] $\chi_A$.
[/mm]
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