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| Aufgabe | a)Sei f:]0;1[ [mm] \to \IR [/mm] gleichmäßig stetig. Zeigen sie, dass für jede CF [mm] (x_{n}) \subset [/mm] ]0;1[ die Folge [mm] (f(x_{n})) [/mm] eine CF in [mm] \IR [/mm] ist. Zeigen sie durch ein Gegenbeispiel, dass diese Aussage nicht mehr gilt, wenn lediglich die Stetigkeit von f vorausgesetzt wird.
b) Seien I, J Intervalle, g:I [mm] \to \IR [/mm] sei gleichmäßig stetig auf I, f:J [mm] \to \IR [/mm] sei gleichmäßig stetig auf J und g(I) [mm] \subset [/mm] J. Zeigen sie, dass dann die Komposition f [mm] \circ [/mm] g gleichmäßig stetig ist auf I. |
Ich bearbeite gerade Teil a) und habe für den ersten Teil: (ich habe es auch so hingeschrieben)
Sei [mm] \varepsilon [/mm] > 0. f ist gleichmäßig stetig, also ex. [mm] \delta>0 [/mm] mit [mm] |x_{1}-x_{2}|< \delta \Rightarrow |f(x_{1})-f(x_{2})|< \varepsilon
[/mm]
[mm] (x_{n}) [/mm] ist CF [mm] \Rightarrow [/mm] es gibt zu [mm] \delta [/mm] >0 ein N [mm] \in \IN, [/mm] so dass [mm] |x_{n}-x_{m}|< \delta [/mm] für alle n,m [mm] \in \IN
[/mm]
[mm] \Rightarrow |f(x_{n})-f(x_{m})|< \varepsilon [/mm] für alle n,m [mm] \in \IN
[/mm]
[mm] \Rightarrow (f(x_{n})) [/mm] ist CF.
Richtig?
So und nun suche ich das Gegenbeispiel, finde es aber nicht :(
Wenn jemand einen Tipp hat, ich nehme ihn gerne.
Danach werde ich mich dann an b) wagen und meine Lösungsvorschläge anbieten.
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:02 Mo 17.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> a)Sei f:]0;1[ [mm]\to \IR[/mm] gleichmäßig stetig. Zeigen sie,
> dass für jede CF [mm](x_{n}) \subset[/mm] ]0;1[ die Folge
> [mm](f(x_{n}))[/mm] eine CF in [mm]\IR[/mm] ist. Zeigen sie durch ein
> Gegenbeispiel, dass diese Aussage nicht mehr gilt, wenn
> lediglich die Stetigkeit von f vorausgesetzt wird.
>
> b) Seien I, J Intervalle, g:I [mm]\to \IR[/mm] sei gleichmäßig
> stetig auf I, f:J [mm]\to \IR[/mm] sei gleichmäßig stetig auf J
> und g(I) [mm]\subset[/mm] J. Zeigen sie, dass dann die Komposition f
> [mm]\circ[/mm] g gleichmäßig stetig ist auf I.
>
> Ich bearbeite gerade Teil a) und habe für den ersten Teil:
> (ich habe es auch so hingeschrieben)
>
> Sei [mm]\varepsilon[/mm] > 0. f ist gleichmäßig stetig, also ex.
> [mm]\delta>0[/mm] mit [mm]|x_{1}-x_{2}|< \delta \Rightarrow |f(x_{1})-f(x_{2})|< \varepsilon[/mm]
>
> [mm](x_{n})[/mm] ist CF [mm]\Rightarrow[/mm] es gibt zu [mm]\delta[/mm] >0 ein N [mm]\in \IN,[/mm]
> so dass [mm]|x_{n}-x_{m}|< \delta[/mm] für alle n,m [mm]\in \IN[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow |f(x_{n})-f(x_{m})|< \varepsilon[/mm] für alle n,m
> [mm]\in \IN[/mm]
> [mm]\Rightarrow (f(x_{n}))[/mm] ist CF.
>
> Richtig?
Ja
>
> So und nun suche ich das Gegenbeispiel, finde es aber nicht
> :(
> Wenn jemand einen Tipp hat, ich nehme ihn gerne.
f(x):=1/x für x [mm] \in [/mm] ]0,1[ ; [mm] x_n:=1/n [/mm] für n [mm] \ge [/mm] 2
FRED
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> Danach werde ich mich dann an b) wagen und meine
> Lösungsvorschläge anbieten.
>
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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Danke!
Noch eine Frage dazu:
Wäre die Funktion [mm] f(x)=x^2 [/mm] auch richtig als Gegenbeispiel?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:20 Mo 17.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Danke!
>
> Noch eine Frage dazu:
> Wäre die Funktion [mm]f(x)=x^2[/mm] auch richtig als
> Gegenbeispiel?
Nein. Diese Funktion ist auf ]0,1[ gleichmäßig stetig
FRED
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Ich wollte mal hören, ob meine Idee für b) in Ordnung ist.
Mein Ansatz:
g ist gleichmäßig stetig [mm] \Rightarrow [/mm] es ex. ein [mm] \delta_{g}, [/mm] so dass [mm] \forall \varepsilon_{g} [/mm] >0 gilt: |x-y|< [mm] \delta_{g} \Rightarrow [/mm] |g(x)-g(y)|< [mm] \varepsilon_{g}
[/mm]
zu f: |g(x)-g(y)|< [mm] \delta_{f} \Rightarrow [/mm] |f(g(x))-f(g(y))|< [mm] \varepsilon_{f}
[/mm]
d.h., für ein beliebiges [mm] \varepsilon_{f} [/mm] ist ein [mm] \delta_{f} [/mm] = [mm] \varepsilon_{g} [/mm] zu finden, so dass |g(x)-g(y)|< [mm] \varepsilon_{g}= \delta_{f}
[/mm]
also ist die Komposition f [mm] \circ [/mm] g gleichmäßig stetig.
Richtig?
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:52 Mi 19.01.2011 | | Autor: | dormant |
Hi!
Du sollst also zu jedem [mm] \epsilon [/mm] >0 ein [mm] \delta [/mm] >0, so dass für alle x, y mit
[mm] |x-y|<\delta [/mm]
folgt
[mm] |f(g(x))-f(g(y))|<\epsilon.
[/mm]
Sei also ein beliebiges [mm] \epsilon>0 [/mm] vorgegeben. Da f schon gleichmäßig stetig ist, wissen wir, dass
[mm] \exists \delta_{\epsilon} [/mm] mit [mm] |g(x)-g(y)|<\delta_{\epsilon} \Rightarrow |f(g(x))-f(g(y))|<\epsilon [/mm] .
Nun brauchen wir aber eine Aussage über |x-y|, anstatt über |g(x)-g(y)|. Im zweiten Schritt sollst du die gleichmäßige Stetigkeit von g benutzen, um das zu machen. Versuch's!
Grüße,
dormant
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