cardM=n < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:58 Mi 17.09.2008 | | Autor: | Feiratos |
| Aufgabe | Sei M eine endliche Menge und sei cardM=n.
Beweisen Sie, dass [mm] cardP(M)=2^n. [/mm] |
Hier soll ich anscheinend beweisen, das die Größe der [mm] Potenzfunktion=2^n [/mm] ist.
Die Kardinalzahl beschreibt die Größe von Mengen, hier n, falls [mm] M\sim\IN_n
[/mm]
muss hier eine Bijektion nachweisen?
Wie soll ich beginnen?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:02 Mi 17.09.2008 | | Autor: | fred97 |
> Sei M eine endliche Menge und sei cardM=n.
> Beweisen Sie, dass [mm]cardP(M)=2^n.[/mm]
> Hier soll ich anscheinend beweisen, das die Größe der
> [mm]Potenzfunktion=2^n[/mm] ist.
>
> Die Kardinalzahl beschreibt die Größe von Mengen, hier n,
> falls [mm]M\sim\IN_n[/mm]
>
> muss hier eine Bijektion nachweisen?
> Wie soll ich beginnen?
Ich übersetze:
M ist eine Menge mit n Elementen. Du sollst zeigen: die Potenzmenge von M hat [mm] 2^n [/mm] Elemente. Induktionsbeweis !!!
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:21 Mi 17.09.2008 | | Autor: | Feiratos |
ok, die Potenzmenge von M hat [mm] 2^n [/mm] Elemente.
für n= 1
[mm] 2^1=2 [/mm] (IA)
(IV) [mm] cardP(M)=2^n [/mm] gelte für ein festes n [mm] \in \IN
[/mm]
(IS) [mm] cardP(M)=2^n [/mm] gelte dann auch für n+1
[mm] cardP(M)=2^n^+^1,
[/mm]
geht das in die richtige Richtung?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:36 Mi 17.09.2008 | | Autor: | Merle23 |
> ok, die Potenzmenge von M hat [mm]2^n[/mm] Elemente.
>
> für n= 1
>
> [mm]2^1=2[/mm] (IA)
>
> (IV) [mm]cardP(M)=2^n[/mm] gelte für ein festes n [mm]\in \IN[/mm]
>
> (IS) [mm]cardP(M)=2^n[/mm] gelte dann auch für n+1
>
> [mm]cardP(M)=2^n^+^1,[/mm]
>
> geht das in die richtige Richtung?
>
Nein.
Also gehen wir das mal durch:
Wir führen eine Induktion über die Anzahl der Elemente der Menge M.
Induktionsanfang (n=1):
Wir haben also eine Menge M mit genau einem Element und wollen zeigen, dass die Potenzmenge [mm] 2^1=2 [/mm] Elemente hat.
Nennen wir dieses Element einfach mal a. Dann ist M = [mm] \{a\}.
[/mm]
Jetzt bilde die Potenzmenge von M und prüfe nach, ob sie zwei Elemente hat. Dann bist du mit dem IA fertig.
Induktionsschritt (n [mm] \to [/mm] (n+1)):
Wir haben eine Menge N mit n+1 Elementen.
Wie wollen die Induktionsvorraussetzung anwenden. Diese gilt für Mengen mit n Elementen.
Also nehmen wir uns irgendein Element von N raus - nennen wir dieses Element einfach mal b - und betrachten die Menge [mm]N \setminus \{b\}[/mm].
Diese hat n Elemente, da N n+1 Elemente hatte. Also können wir unsere Induktionsvorraussetzung darauf anwenden und erhalten: Die Potenzmenge der Menge [mm]N \setminus \{b\}[/mm] hat genau [mm] 2^n [/mm] Elemente.
Jetzt musst du von hier aus auf die Anzahl der Elemente der Potenzmenge von der gesamten Menge N kommen (welche ja [mm] 2^{n+1} [/mm] sein muss).
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:59 Mi 17.09.2008 | | Autor: | Feiratos |
Hallo,
ich stolpere schon über den Induktionsanfang.
was ist eigentlich mit n=0?
weil in der Aufgabenstellung steht ja nichts von nichtleerer Menge.
Menge M hat genau ein Element
n=1
[mm] P(M)=2^1=2 [/mm]
wenn ich das richtig verstehe ist dann die 2=a und dann ist M={2}
[mm] P(M)=2^2=4 [/mm] soll das nun heißen dass M={1,2}ist?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:15 Mi 17.09.2008 | | Autor: | abakus |
> Hallo,
>
> ich stolpere schon über den Induktionsanfang.
>
> was ist eigentlich mit n=0?
> weil in der Aufgabenstellung steht ja nichts von
> nichtleerer Menge.
>
Hallo, die leere Menge ist eine Teilmenge JEDER Menge.
Für n=0 gibt es also genau eine Teilmenge: Die leere Menge [mm] \emptyset [/mm] hat sich selbst als Teilmenge.
Die einelementige Menge M={a} hat zwei Teilmengen: die leere Menge [mm] \emptyset [/mm] und sich selbst.
Die Menge{a, b} hat die Teilmengen [mm] \emptyset, [/mm] {a}, {b}, {a, b}
(also [mm] 2^2=4 [/mm] Teilmengen).
Gruß Abakus.
> Menge M hat genau ein Element
> n=1
> [mm]P(M)=2^1=2[/mm]
> wenn ich das richtig verstehe ist dann die 2=a und dann ist
> M={2}
> [mm]P(M)=2^2=4[/mm] soll das nun heißen dass M={1,2}ist?
>
>
>
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:50 Mi 17.09.2008 | | Autor: | Feiratos |
Hallo,
tut mir leid, aber ich bekomme das wirklich nicht hin mit den Erklärungen, kann jemand diese Aufgabe mit mir Schritt für Schritt durchgehen?
ich verstehe es bis jetzt so, dass die Menge M=n ist, und
[mm] Potenzmenge=2^n [/mm] ist. und diese potenzmenge muss nachgewiesen werden.
Der Anfang sollte sein, das wir M mit genau einen Element haben, und zeigen wollen, dass die Potenzmenge [mm] 2^1=2 [/mm] Elemente hat.
Ich frage mich wo die Potenzmenge zwei Elemente hat, und wieso wollen wir zeigen, dass die Potenzmenge zwei Elemente hat.
[mm] 2^0=1 [/mm] {0}=M P(M)=1
[mm] 2^1=2 [/mm] {0,1}=M P(M)=2
[mm] 2^2=4 [/mm] {0,1,2}=M P(M)=3
ich kapier gar nichts irgendwie...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:57 Mi 17.09.2008 | | Autor: | abakus |
Hallo,
liegt das Problem im Verständnis des Begriffs "Potenzmenge"?
Ich habe dir doch vorhin aufgezählt, warum für eine Menge mit 0 Elementen die Potenzmenge 1 Element hat, warum für eine Menge mit 1 Elementen die Potenzmenge 2 Elemente hat und warum für eine Menge mit 2 Elementen die Potenzmenge 4 Elemente hat.
Die Potenzmenge von M ist die MENGE aller TEILMENGEN von M. Was war an der Aufzählung der Teilmengen für die drei Fälle n=0, n=1 und n=2 unklar?
Gruß Abakus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:22 Mi 17.09.2008 | | Autor: | Feiratos |
Hallo
Doch jetzt nach einer kurzen Pause habe ich das schon verstanden.
Damit habe ich ja den Induktionsanfang.
Dann käme der
Induktionsschritt (n $ [mm] \to [/mm] $ (n+1)):
hier muss ich also die Induktionsvoraussetzung anwenden,
also dass [mm] cardP(M)=2^n [/mm] ist.
Also nehmen wir eine Menge N mit cardN=n+1 und ein b aus der Menge N.
M:=N\ {b},
dann ist cardM=n ..aber was ist mit P(M) ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:29 Mi 17.09.2008 | | Autor: | abakus |
> Hallo
>
> Doch jetzt nach einer kurzen Pause habe ich das schon
> verstanden.
>
> Damit habe ich ja den Induktionsanfang.
>
> Dann käme der
> Induktionsschritt (n [mm]\to[/mm] (n+1)):
>
> hier muss ich also die Induktionsvoraussetzung anwenden,
>
> also dass [mm]cardP(M)=2^n[/mm] ist.
>
> Also nehmen wir eine Menge N mit cardN=n+1 und ein b aus
> der Menge N.
> M:=N\ {b},
> dann ist cardM=n ..aber was ist mit P(M) ?
Also: aus n Elementen bekommst du [mm] 2^n [/mm] Teilmengen. Jetzt kommt ein neues Element dazu. Welche Teilmengen hast du jetzt?
Antwort:
Erst einmal die [mm] 2^n [/mm] Teilmengen, die du vorher schon hattest.
Dann kannst du auch noch zu JEDER der [mm] 2^n [/mm] Teilmengen das neue Element dazugeben, also erhältst du weitere [mm] 2^n [/mm] Teilmengen, die sich sowohl untereinander als auch von den ursprünglichen Teilmengen (in eben dem neuen Element) unterscheiden. Also verdoppelt sich die Anzahl der Teilmengen mit einem neuen Element.
Gruß Abakus
>
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:44 Do 18.09.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo
>
> Doch jetzt nach einer kurzen Pause habe ich das schon
> verstanden.
>
> Damit habe ich ja den Induktionsanfang.
>
> Dann käme der
> Induktionsschritt (n [mm]\to[/mm] (n+1)):
>
> hier muss ich also die Induktionsvoraussetzung anwenden,
>
> also dass [mm]cardP(M)=2^n[/mm] ist.
>
> Also nehmen wir eine Menge N mit cardN=n+1 und ein b aus
> der Menge N.
> M:=N\ {b},
> dann ist cardM=n ..aber was ist mit P(M) ?
also im Prinzip steht hier schon der ganze Induktionsbeweis. Ich möchte Dir den Induktionsschritt dennoch verdeutlichen, einfach mal an dem Beispiel, wie der Induktionsschritt von $2 [mm] \mapsto [/mm] 3$ abläuft:
Also für eine $2$-elementige Menge gehen wir davon aus, dass die zugehörige Potenzmenge $4$ Elemente habe. Wir nehmen jetzt mal [mm] $\black{a},b,c$, [/mm] paarweise verschieden her.
Zunächst betrachten wir die $2$-elementige Menge [mm] $A_2:=\{a,b\}$. [/mm] Nach Induktionsvoraussetzung hat dann [mm] $\mathcal{P}(A_2)$ $2^2=4$ [/mm] Elemente.
(Dass das auch wirklich stimmt, kann man sich überlegen:
[mm] $\mathcal{P}(A_2)=\{\{\},\{a\},\{b\},\{a,b\}\}$, [/mm] es gilt also, dass [mm] $\mathcal{P}(A_2)$ [/mm] genau die Elemente [mm] $\{\}$, $\{a\}$, $\{b\}$, $\{a,b\}$ [/mm] hat. Beachte bitte, dass die Elemente der Potenzmenge von [mm] $A_2$ [/mm] selbst wieder Mengen sind, es ist ja z.B. [mm] $\{a\} \in \mathcal{P}(A_2)$. [/mm] Also das Element [mm] $\{a\}$ [/mm] der Potenzmenge [mm] $\mathcal{P}(A_2)$ [/mm] ist selbst gerade die Menge, die genau das Element [mm] $\black{a}$ [/mm] enthält.)
Nun setzen wir mal [mm] $A_3:=\{a,b,c\}$. [/mm]
(Du erkennst sicher, dass in meiner Notation [mm] $A_n$ [/mm] i.a. stets eine $n$-elementige Menge sein soll. Ich hätte auch [mm] $\widehat{A_2}:=\{a,c\}$ [/mm] setzen können, und überlege Dir dann mal, wie man dann das folgende für [mm] $\widehat{A_2}$ [/mm] und [mm] $A_3$ [/mm] aufzuschreiben hätte. Als Tipp:
Es wären nur die Rollen von $b$ und $c$ vertauscht.)
Hier gilt nun [mm] $A_3=A_2 \cup \{c\}$. [/mm] Wie sieht nun [mm] $\mathcal{P}(A_3)$ [/mm] aus? Es ist jedenfalls [mm] $\mathcal{P}(A_2)= \{\{\},\{a\},\{b\},\{a,b\}\} \subset \mathcal{P}(A_3)$. [/mm] Und welche "neuen" Elemente können nun noch in [mm] $\mathcal{P}(A_3)$ [/mm] "entstanden" sein? Na die, wenn man in jedem Element von [mm] $\mathcal{P}(A_2)$ [/mm] das Element [mm] $\black{c}$ [/mm] hinzunimmt, also besteht [mm] $\mathcal{P}(A_3)$ [/mm] genau aus den Elementen [mm] $\{\},\{a\},\{b\},\{a,b\}$ [/mm] und den Elementen, wenn man in diesen Mengen noch $c$ aufnimmt. Neben den Elementen von [mm] $\mathcal{P}(A_2)$ [/mm] kommen also noch die folgenden hinzu:
[mm] $\{\} \cup \{c\}=\blue{\{c\}}$, $\{a\} \cup \{c\}=\blue{\{a,c\}}$, $\{b\} \cup \{c\}=\blue{\{b,c\}}$, $\{a,b\} \cup \{c\}=\blue{\{a,b,c\}}$, [/mm] und damit erkennt man:
[mm] $\mathcal{P}(A_3)=\{\{\},\{a\},\{b\},\{a,b\}, \blue{\{c\}}, \blue{\{a,c\}},\blue{\{b,c\}}, \blue{\{a,b,c\}} \} [/mm] $
Also gilt offensichtlich:
[mm] $\mathcal{P}(A_3)=2*\mathcal{P}(A_2)=2*2^2=2^{2+1}$
[/mm]
Ich hoffe, dass Dir diese Überlegungen, quasi der Induktionsschritt $2 [mm] \mapsto [/mm] 3$, an einem konkreten Beispiel, beim Verständnis des allgemeinen Induktionsschrittes $n [mm] \mapsto [/mm] n+1$ hilft.
Grob gesagt:
Die Potenzmenge einer [mm] $\black{n}+1$-elementigen [/mm] Menge besteht genau aus den folgenden Elementen:
Sie enthält alle Elemente der Potenzmenge einer [mm] $\black{n}$-elementigen [/mm] Teilmenge (das sind nach I.V. dann genau [mm] $2^n$ [/mm] Stück) und den Mengen, wenn man zu jedem dieser Elemente (welches ja selbst Mengen sind) das Element aufnimmt, welches in der [mm] $\black{n}+1$-elementigen [/mm] Menge, nicht aber in der [mm] $\black{n}$-elementigen [/mm] Menge enthalten ist.
Diese Überlegung verdeutlicht: Beim Schritt $n [mm] \mapsto [/mm] n+1$ verdoppelt sich die Anzahl der Elemente der zugehörigen Potenzmenge. Und im Induktionsbeweis schreibt man das dann quasi auf und beachtet nun nur noch, dass [mm] $2*2^n=2^{n+1}$.
[/mm]
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:50 Mi 17.09.2008 | | Autor: | pelzig |
> tut mir leid, aber ich bekomme das wirklich nicht hin mit
> den Erklärungen, kann jemand diese Aufgabe mit mir Schritt
> für Schritt durchgehen?
Ja du bist ziemlich durcheinander was Mengen anbelangt.
Mal ein kleiner Crahkurs:
Mengen haben erstmal nichts mit Zahlen zu tun. Eine Menge ist einfach nur eine "Zusammenfassung" von Dingen zu einem ganzen (Was genau Mengen eigentlich sind, ist ein schwieriges mathematisches Problem, aber es genügt zu wissen, wie man damit umgehen muss). Zum Beispiel gibt es die Menge [mm] $A:=\{1,\xi,\operatorname{pelzig}\}$, [/mm] die aus den Elementen $1$, [mm] $\xi$ [/mm] und [mm] $\operatorname{pelzig}$ [/mm] besteht, man schreibt [mm] "$1\in [/mm] A$, [mm] $\xi\in [/mm] A$ usw. Was das für komische Dinger sind, was sie miteinander zu tun haben ist erstmal völlig egal, sie sind einfach in diesem "Topf" und auf dem steht A.
Wenn man zwei Mengen $A,B$ hat, für die gilt [mm] $x\in A\Rightarrow x\in [/mm] B$, dann sagt man "A ist Teilmenge von B" und schreibt [mm] "$A\subset [/mm] B$". Gilt außerdem [mm] $B\subset [/mm] A$, dann schreibt man $A=B$ und sagt "A und B sind gleich". Es gibt eine Menge, die kein Element enthält, die heißt "leere Menge", oder kurz [mm] $\emptyset$. [/mm] Bis hierhin waren alles nur Definitionen, jetzt kommt eine Folgerung: "Die leere Menge ist Teilmenge von jeder Menge."
Beweis: Sei $M$ eine beliebige Menge. Wir müssen zeigen, dass [mm] $x\in\emptyset\Rightarrow x\in [/mm] M$ wahr ist. Aber [mm] $x\in\emptyset$ [/mm] ist nach Definition der leeren Menge Falsch, also ist die genannte Implikation stets wahr, unabhängig davon ob [mm] $x\in [/mm] M$ wahr ist. Also ist [mm] $\emptyset\subset M\qquad\Box$.
[/mm]
Hat man zwei Mengen $A,B$, so gibt es eine Menge [mm] $A\cup [/mm] B$, die genau die Elemente enthält, die in $A$ oder $B$ enthalten sind. Außerdem gibt es eine Menge [mm] $A\cap [/mm] B$, die genau aus den Elementen besteht, die in $A$ und $B$ liegen. Hat man eine Menge $M$ und eine Teilmenge [mm] $A\subset [/mm] M$, so gibt es eine Menge [mm] $M\setminus [/mm] A$, die genau aus den Elementen besteht, die in $M$ und nicht in $A$ liegen.
Ok jetzt die Potenzmenge. Hat man eine beliebige Menge $M$, dann gibt es die Potenzmenge $P(M)$, die genau aus allen Teilmengen von $M$ besteht. Die Elemente von $P(M)$ sind also wieder Mengen, nämlich Teilmengen von $M$. Ist z.B. [mm] $M=\{a,b\}$, [/mm] so ist [mm] $P(M)=\{\emptyset ,\{a\},\{b\},\{a,b\}\}$.
[/mm]
So wir tun jetzt mal so, als wüssten wir was natürliche Zahlen sind und wie man damit rumrechnen kann. Das ist aus unserem jetztigen Stand überhaupt nicht trivial, würde aber jetzt zu weit führen.
Zwei Mengen $A,B$ heißen gleichmächtig, wenn es eine Bijektion [mm] $f:A\to [/mm] B$ gibt, also eine Abbildung, die jedem Element aus $A$ genau ein Element $B$ zuordnet. Man sagt, "die Menge $A$ hat $n$ Elemente", wenn $A$ gleichmächtig zur Menge [mm] $\{1,2,...,n\}\subset\IN$ [/mm] ist, und schreibt $|A|=n$. Eine Menge $M$ heißt endlich, wenn [mm] $|M|\in\IN$ [/mm] ist, d.h. wenn es ein [mm] $m\in\IN$ [/mm] gibt, sodass $A$ gleichmächtig zu [mm] $\{1,2,...,m\}$ [/mm] ist.
Das sind die Begriffe die du kennen musst, das ist Grundlage der Mathematik. Ich bin nicht darauf eingegangen was Abbildungen sind, im Grunde kannst du das ja auch alles nachlesen, aber ich wollte dir nur mal klar machen dass das alles ganz klar definierte Begriffe sind, und wenn man etwas über diese Begriffe beweisen will, dann muss man erstmal die Definitionen rauskramen und dann einfach logische Schlüsse ziehen, bis die Behauptung gezeigt ist. Manchmal ist das sehr schwer, aber selbst der komplizierteste mathematische Beweis funktioniert nach diesem Prinzip.
> ich verstehe es bis jetzt so, dass die Menge M=n ist, und
Diese Aussage macht einfach keinen Sinn. $M$ ist eine Menge und $n$ ist eine Zahl. Was du meinst ist die Mächtigkeit, also $|M|=n$.
> [mm]Potenzmenge=2^n[/mm] ist. und diese potenzmenge muss
> nachgewiesen werden.
D.h. du musst zeigen [mm] $|P(M)|=2^{|M|}$.
[/mm]
> Der Anfang sollte sein, das wir M mit genau einen Element
> haben, und zeigen wollen, dass die Potenzmenge [mm]2^1=2[/mm]
> Elemente hat.
> Ich frage mich wo die Potenzmenge zwei Elemente hat, und
Ja ganz einfach. Nennen wir das einzige Element von $M$ mal $a$, d.h. [mm] $M=\{a\}$. [/mm] Dann ist [mm] $P(M)=\{\emptyset,\{a\}\}$, [/mm] einfach alle Teilmengen von $M$, genauso wie wir es oben definiert haben.
> wieso wollen wir zeigen, dass die Potenzmenge zwei Elemente
> hat.
Weil genau das die Behauptung für den Fall $|M|=1$ ist.
Jetzt fehlt noch der Induktionsschritt. Wir wissen für ein festes $k$, dass wenn eine Menge $k$ Elemente hat, dann hat $P(M)$ genau [mm] $2^k$ [/mm] Elemente. Daraus müssen wir folgern, dass die Behauptung auch für jede Menge mit $k+1$ Elementen gilt. D.h. wir haben eine Menge vorgegeben mit $k+1$ Elementen, und müssen zeigen dass ihre Potenzmenge [mm] $2^{k+1}$ [/mm] Elemente hat - wir dürfen dazu verwenden, dass die Potenzmenge einer Menge mit $k$ Elementen [mm] $2^k$ [/mm] Elemente hat.
Die Idee besteht darin, dass du $P(M)$ irgendwie aufteilst in zwei Mengen, die jeweils [mm] $2^k$ [/mm] Elemente haben, denn dann hat $P(M)$ genau [mm] $2^k+2^k=2^k\cdot(1+1)=2^{k+1}$ [/mm] Elemente.
So, jetzt nochmal was anderes. Die Leute, die auf deine Fragen antworten erwarten, dass du über die Antworten nachdenkst. Wir machen das in unserer Freizeit. Wir erwarten nicht, dass du alles gleich verstehst, aber dass du dich bemühst und gegebenenfalls weitere Fragen stellst. Wenn du nur halb so viel Zeit beim Nachdenken verbringst wie wir für das Schreiben von Antworten aufwenden, würdest du sicher ganz schön schnell lernen.
Also Frohes Schaffen,
Robert
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:08 Mi 17.09.2008 | | Autor: | Feiratos |
Hallo,
vielen Dank für deine Hilfestellungen,
aber ich verstehe deine Andeutungen nicht, bezogen darauf dass ich die Mühe der Anderen nicht zu schätzen weiß.Ich nehme mir die Sachen an und versuche diese auch umzusetzen.Ich denke selbstverständlich darüber nach und beschäftige mich zur Zeit ausgiebig damit.Natürlich bemühe ich mich und stelle Fragen zurück, dafür dachte ich ist diese Seite auch da.
Für diese Hilfen bin ich auch sehr dankbar, denn auf anderen Wegen kann ich es momentan nicht schaffen.
Mein Fundament in Mathematik ist wirklich unsicher,aber dass muss nichts heißen. Vielleicht haben meine Fragen beleidigend gewirkt, was aber, wenn es so war, nicht beabsichtigt war.
Ich werde an meinem Arbeitsstil arbeiten,liegt ja auch in meinem Interesse.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:21 Do 18.09.2008 | | Autor: | Herby |
Hallo,
jetzt werde ich mich auch mal einmischen - seid wann muss man sich denn für Unverständnis entschuldigen ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Wenn du das, was wir schreiben nicht verstehst, dann haben wir uns wohl unklar ausgedrückt, oder!?
Wenn du Fragen hast, dann frag - auch [mm] 7^{99} [/mm] Mal
Liebe Grüße
Herby
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:09 Do 18.09.2008 | | Autor: | Feiratos |
also ich will hierbei über [mm] cardM\in \IN_0 [/mm] den Beweis mit vollständiger Induktion versuchen durchzuführen.
ist cardM=0, was bedeutet [mm] M=\emptyset, [/mm]
so ist dann [mm] P(M)={\emptyset} [/mm] und daher [mm] P(M)=1=2^0.(wenn [/mm] ich es richtig aus den Erklärungen entnommen habe)
Sei jetzt [mm] n\in \IN_0.
[/mm]
Annahme: für jede Menge M mit cardM=n gilt die Beziehung [mm] cardP(M)=2^n.
[/mm]
Sei
N eine Menge mit cardN=n+1,sei [mm] x_0 \in \IN [/mm] beliebig & sei [mm] M_0:= N\{ x_0 }
[/mm]
Dann ist [mm] cardM_0=n [/mm] und
P(N)={ [mm] L\subset [/mm] N [mm] :x_0 \in [/mm] L } [mm] \cup [/mm] { L [mm] \subset [/mm] N : [mm] x_0\not\in [/mm] L}
P(N)={ K [mm] \cup [/mm] { [mm] x_0 [/mm] } : K [mm] \subset M_0 [/mm] } [mm] \cup [/mm] {K : K [mm] \subset M_0 [/mm] }
P(N)={K [mm] \cup {x_0} [/mm] : K [mm] \in P(M_0)} \cup P(M_0)
[/mm]
Das bedeutet doch dass [mm] cardP(N)=2cardP(M_0) ist,=2*2^n=2*2^n^+^1
[/mm]
...?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:00 Do 18.09.2008 | | Autor: | Merle23 |
> also ich will hierbei über [mm]card(M)\in \IN_0[/mm] den Beweis mit
> vollständiger Induktion versuchen durchzuführen.
>
> ist card(M)=0, was bedeutet [mm] M=\emptyset, [/mm]
> so ist dann P(M)= { [mm] \emptyset [/mm] } und daher [mm]P(M)=1=2^0[/mm] (wenn ich
> es richtig aus den Erklärungen entnommen habe).
Wenn du innerhalb [mm] \left[ mm \right] \left[ /mm \right] [/mm] geschweifte Klammern schreiben willst, dann musst du ein \ davor schreiben.
Die Klammern oben, die nicht angezeigt wurden, habe ich rot gemacht.
Ich hab auch deinen weiteren Text etwas schöner gemacht - ich hoffe ich habe dadurch keine Fehler reingebaut.
Wenn du wissen willst, wie man so schreibt in dem Editor, dann klicke einfach auf eine Formel drauf, dann wird dir der Quellcode angezeigt.
Für die Potenzmenge nimmt man lieber statt dem einfachen P das Zeichen [mm] \mathcal{P}. [/mm] So kann man den Text dann besser lesen.
>
> Sei jetzt [mm]n\in \IN_0[/mm].
> Annahme: für jede Menge M mit card(M)=n gilt die Beziehung [mm]card(P(M))=2^n[/mm].
> Sei N eine Menge mit card(N)=n+1, sei [mm]x_0 \in \IN[/mm] beliebig und sei [mm]M_0:= N\setminus \{ x_0 \}[/mm]
Es müsste [mm]x_0 \in N[/mm] heissen.
> Dann ist [mm]card(M_0)=n[/mm] und
> [mm]P(N)=\{ L\subset N :x_0 \in L \} \cup \{ L \subset N : x_0\not\in L\}[/mm]
> [mm]P(N)=\{ K \cup \{ x_0\} : K \subset M_0\} \cup\{K : K \subset M_0 \}[/mm]
> [mm]P(N)=\{ K \cup \{x_0\}: K \in P(M_0)\} \cup P(M_0)[/mm]
>
> Das bedeutet doch dass [mm]card(P(N))=2card(P(M_0)) ist,=2*2^n=2*2^n^+^1[/mm]
>
Benutze die Gleichung, die du oben schon hast: [mm]card(\mathcal{P}(N)) = card(\{ K \cup \{x_0\}: K \in \mathcal{P}(M_0)\} \cup P(M_0)) = card(\{ K \cup \{x_0\}: K \in \mathcal{P}(M_0)\}) + card(\mathcal{P}(M_0)) = card(\mathcal{P}(M_0)) + card(\mathcal{P}(M_0)) = 2^n + 2^n = 2^{n+1}[/mm].
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:06 Do 18.09.2008 | | Autor: | Feiratos |
Vielen Dank für die Tipps, und auch für die Korrekturen .
Das mit dem Formeleingeben werde ich noch üben, habe ja noch genug offene Fragen 
Wie es halt so ist, learning by doing..
vielen dank nochmal
|
|
|
|
