bogenlänge und weltlinie < HochschulPhysik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:24 Sa 25.10.2008 | | Autor: | kurolong |
also ich habe ein problem mit der bewegungsgleichung der allgemeinen relativitätstheorie:das "x"
es stellt offenbar eine vektorwertige funktion der weltlinie dar:
[mm] \vec{x}=(x_{0},x_{1},x_{2},x_{3}) [/mm]
(0=zeitkoordinate, 1-3=raumkoordinaten)
allerdings wird nach der bogenlänge abgeleitet und ausdrücklich nicht nach der zeitkoordinate [mm] x_{0} [/mm]
ich verstehe nicht genau wie man die funktionen in abhängigkeit der bogenlänge formulieren kann, denn wäre die bogenlänge denn dann nicht 4 dimensional?
gibt das einen sinn?
meine idee wäre, erst 3 funktionen in abhängigkeit von der zeit zu formulieren und dann differenzialgleichungen aufzustellen
bin aber dabei gescheitert
danke schonmal im vorraus^^
ich habe die frage in kein anderes forum gestellt
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:35 Sa 25.10.2008 | | Autor: | kurolong |
es tut mir leid ich habe vergessen die frage explizit zu formulieren:
wie stellt man denn nun diese funktion in abhängigkeit der bogenlänge auf?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:00 So 26.10.2008 | | Autor: | Kroni |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hi,
kann es sein, dass du die spezielle Relativitätstheorie meinst? Also die Sachen mit Lorentz-Trafo etc?
Nun, wenn man sich zB die Vierer-Geschwindigkeit anguckt, könnte man diese ja als "zeitliche" Ableitung definieren. Problem dabei: Zeit ist relativ. Also einigt man sich darauf, nach der Eigenzeit $\tau$ abzuleiten, denn die Eigenzeit ist immer eindeutig.
Was du meinst, ist vermutlich das "ds". Das ist nicht die Bogenlänge, es ist das sog. Intervall: $ds^2=c^2dt^2-d\vec{r}^2$. Man kann zeigen, dass das Intervall s bzw ds Lorentz-Invariant ist, d.h. es ändert sich nicht unter Lorentz-Trafos, d.h. $ds^2$ ist in allen Bezugssystemen konstant.
Wenn man sich im Eigensystem befindet, dann ist ja der Ort konstant, da sich ja dieses Bezugssystem mit deinem "Objekt" mitbewegt (so ist ja dieses spezielle System definiert...). Deshalb reduziert sich $ds^2$ zu $ds^2=c^2d\tau^2$. $\tau$ deshalb, weil ja die gemessene Zeit in diesem System die sog. Eigenzeit ist.
Deshalb kann man dann die Vierergeschwindigkeit als $\dx^i/d\tau$ bzw. eben als $du^i/ds$ definieren. Das c lässt kann man weg lassen oder nicht (ist Konventionssache. Def. man die Vierergeschwindigkeit einfach als $dx^i/ds$ ist ihr Betrag schönerweise gleich 1).
Okay, kümmern wir uns dann weiter ums $ds^2$:
$ds^2=c^2dt^2-d\vec{r}^2=c^2dt^2(1-\frac{d\vec{r}^2}{c^2dt^2})=c^2dt^2(1-\frac{\vec{v}^2}{c^2})$
Jetzt kann man dann die Vierer-Geschwindigkeit hinschreiben:
$dx^i/ds=\left( \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}},\frac{\vec{v}}{c\sqrt{1-v^2/c^2}\right)=du^i$
> also ich habe ein problem mit der bewegungsgleichung der
> allgemeinen relativitätstheorie:das "x"
> es stellt offenbar eine vektorwertige funktion der
> weltlinie dar:
> [mm]\vec{x}=(x_{0},x_{1},x_{2},x_{3})[/mm]
> (0=zeitkoordinate, 1-3=raumkoordinaten)
Das passt dann auch.
> allerdings wird nach der bogenlänge abgeleitet und
> ausdrücklich nicht nach der zeitkoordinate [mm]x_{0}[/mm]
> ich verstehe nicht genau wie man die funktionen in
> abhängigkeit der bogenlänge formulieren kann, denn wäre die
> bogenlänge denn dann nicht 4 dimensional?
Ne, weil [mm] $s^2=c^2t^2-x_1^2-x_2^2-x_3^2$ [/mm] mit [mm] $x_i$, $i=1\dots3 [/mm] als Raumkoord. definiert ist.
Hoffe, ich konnte dir helfen.
LG
Kroni
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