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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:56 Mo 26.05.2008 | | Autor: | marie11 |
| Aufgabe | | ich möchte hier binomialsatz verwenden! |
[mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{n\\2k}
[/mm]
ich kann mit der 2 nichts anfangen!
ansonsten würde ich so rechnen!
[mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{n\\2k} \*1^k\*1^n^-^k=(1+1)^n=2^n
[/mm]
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> ich möchte hier binomialsatz verwenden!
> [mm]\summe_{k=0}^{n} \vektor{n\\2k}[/mm]
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> ich kann mit der 2 nichts anfangen!
> ansonsten würde ich so rechnen!
>
> [mm]\summe_{k=0}^{n} \vektor{n\\2k} \*1^k\*1^n^-^k=(1+1)^n=2^n[/mm]
Dies ist natürlich falsch. Aber vielleicht kannst Du folgende zwei Gleichungen so kombinieren, dass nur die Binomialkoeffizienten mit geradem $k$ bleiben (für $2k>n$ sind in der zu berechnenden Summe die Binomialkoeffizienten des weiteren alle =0):
[mm]\begin{array}{crclcl}
\text{(I)} & 2^n &=& (1+1)^n &=& \summe_{k=0}^n \binom{n}{k}\\[.2cm]
\text{(II)} & 0 &=& \big((-1)+1\big)^n &=& \summe_{k=0}^n\binom{n}{k}\cdot (-1)^k
\end{array}[/mm]
Nachtrag (1. Revision): Im Falle $n=0$ gilt allerdings die Gleichung (II) nicht. Diesen Fall musst Du getrennt betrachten.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:34 Mo 26.05.2008 | | Autor: | marie11 |
| Aufgabe | stimmt es jetzt?
[mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{n\\2k} \*1^k\*1^n^-^k=(0)^n=0
[/mm]
da ja 2k>n deren binomialkoeffizienten =0 sind!
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> > ich möchte hier binomialsatz verwenden!
> > [mm]\summe_{k=0}^{n} \vektor{n\\2k}[/mm]
> >
> > ich kann mit der 2 nichts anfangen!
> > ansonsten würde ich so rechnen!
> >
> > [mm]\summe_{k=0}^{n} \vektor{n\\2k} \*1^k\*1^n^-^k=(1+1)^n=2^n[/mm]
>
> Dies ist natürlich falsch. Aber vielleicht kannst Du
> folgende zwei Gleichungen so kombinieren, dass nur die
> Binomialkoeffizienten mit geradem [mm]k[/mm] bleiben (für [mm]2k>n[/mm] sind
> in der zu berechnenden Summe die Binomialkoeffizienten des
> weiteren alle =0):
>
> [mm]\begin{array}{crclcl}
\text{(I)} & 2^n &=& (1+1)^n &=& \summe_{k=0}^n \binom{n}{k}\\[.2cm]
\text{(II)} & 0 &=& \big((-1)+1\big)^n &=& \summe_{k=0}^n\binom{n}{k}\cdot (-1)^k
\end{array}[/mm]
>
> Nachtrag (1. Revision): Im Falle [mm]n=0[/mm] gilt allerdings die
> Gleichung (II) nicht. Diesen Fall musst Du getrennt
> betrachten.
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> stimmt es jetzt?
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> [mm]\summe_{k=0}^{n} \vektor{n\\2k} \*1^k\*1^n^-^k=(0)^n=0[/mm]
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> da ja 2k>n deren binomialkoeffizienten =0 sind!
Nein, dies ist natürlich nicht richtig. Du kannst Dir ja problemlos ein Gegenbeispiel zu dieser Behauptung überlegen. Was ich sagen wollte ist nur, dass folgendes gilt:
[mm]\summe_{k=0}^n\binom{n}{2k}=\summe_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor}\binom{n}{2k}[/mm]
Mein Hinweis, dass für $n>0$ gilt:
> > [mm]\begin{array}{crclcl}
\text{(I)} & 2^n &=& (1+1)^n &=& \summe_{k=0}^n \binom{n}{k}\\[.2cm]
\text{(II)} & 0 &=& \big((-1)+1\big)^n &=& \summe_{k=0}^n\binom{n}{k}\cdot (-1)^k
\end{array}[/mm]
hätte Dich dazu veranlassen sollen, diese beiden Gleichungen zu addieren. Ergibt
[mm]2^n +0 =\summe_{k=0}^n\binom{n}{k}+\summe_{k=0}^n\binom{n}{k}\cdot(-1)^k[/mm]
also ist, weil sich die Glieder für ungerades $k$ aufheben, die Glieder für gerades $k$ aber verdoppeln,
[mm]2^n=2\cdot \summe_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor}\binom{n}{2k}=2\cdot \summe_{k=0}^n\binom{n}{2k}[/mm]
Somit erhalten wir, durch beidseitiges Dividieren dieser Beziehung durch $2$, dass gilt: [mm] $\summe_{k=0}^n\binom{n}{2k}=2^{n-1}$ [/mm] (für $n>0$). Für $n=0$ hat die fragliche Summe den Wert $1$, weil [mm] $\binom{0}{0}=1$ [/mm] ist.
Du kannst diese Summe allerdings auch als Antwort auf eine kombinatorische Fragestellung auffassen: [mm] $\summe_{k=0}^n\binom{n}{2k}$ [/mm] ist die Anzahl Teilmengen einer $n$-elementigen Menge, die eine gerade Anzahl von Elementen besitzt.
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