binomialkoeffizienten < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:58 Mo 03.11.2008 | | Autor: | gigi |
| Aufgabe | Beweise durch vollst.Induktion die Formel für Binomialkoeffizienten:
[mm] \vektor{n \\ k}=\bruch{n!}{k!(n-k)!} [/mm] |
hallo!
könnte mir bitte jemand sagen, wie man am besten an die aufgabe herangeht? sozusagen "laut denken"!
wie komme ich darauf, ob ich n oder k fest lasse/laufen lasse? ich würde eine induktion nach n durchführen, aber begründen kann ich es auch nicht...was genau setze ich also im IA ein?
danke und gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:01 Mo 03.11.2008 | | Autor: | Zorba |
Ich würde dir zustimmen. Fang doch mit n=0 oder n=1 an!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:02 Mo 03.11.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Beweise durch vollst.Induktion die Formel für
> Binomialkoeffizienten:
>
> [mm]\vektor{n \\ k}=\bruch{n!}{k!(n-k)!}[/mm]
>
> hallo!
>
> könnte mir bitte jemand sagen, wie man am besten an die
> aufgabe herangeht? sozusagen "laut denken"!
Du solltest mal verraten, wie ihr die Binomialkoeffizienten definiert habt. Weil fuer mich ist die obige Formel die Definition, womit es nichts zu zeigen gibt.
Im Allgemeinen wuerd ich aber mal drauf tippen, dass Induktion nach $n$ eine gute Idee ist.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:28 Di 04.11.2008 | | Autor: | gigi |
ja, das dachte ich zunächst auch...aber ich hab noch eine andere definition gefunden: [mm] \vektor{n \\ k}:= [/mm] # { [mm] A\in [/mm] P(X)/#A=k }
die versteh ich nur leider nicht ganz....P(X) ist ja [mm] 2^x [/mm] aber {n [mm] \\ [/mm] k} ist ja nicht durch [mm] 2^x [/mm] zu berechnen, oder? was ist überhaupt mein X --eine beliebige feste menge mit n elementen?
wär schön, wenn mir jemand erklären könnte, was noch in der formel oben steckt, wie wende ich sie an? und vor allem wie benutze ich sie dann für die induktion?
danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:41 Di 04.11.2008 | | Autor: | luis52 |
Moin gigi,
du hast Recht, X ist eine Menge mit n Elementen.
Die Definition besagt Folgendes: [mm] [i]$\binom{n}{k}$ [/mm] sei die Anzahl aller
Teilmengen A von X (oder Elemente der Potzenmenge $P(X)$ von X), die k
Elemente aufweisen.[/i]
Du wirfst einiges durcheinander: $P(X)$ hat [mm] $2^n$ [/mm] Elemente. Der
Zusammanhang zwischen den Zahlen [mm] $2^n$ [/mm] und [mm] $\binom{n}{k}$,
[/mm]
[mm] $k=0,1,2,\dots,n$, [/mm] besteht in der Formel
[mm] $2^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}$,
[/mm]
(die du als naechstes beweisen darfst  )
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:53 Di 04.11.2008 | | Autor: | gigi |
wieso soll ich die beweisen? is ja ne definition und deshalb darf/muss ich sie verwenden für den beweis meiner formel!
danke, tschau
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:00 Di 04.11.2008 | | Autor: | luis52 |
So, die Definition haben wir. Und nun beweise:
[mm] $\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$.
[/mm]
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:07 Di 04.11.2008 | | Autor: | gigi |
nochmal zur definition: am [mm] bsp.:\vektor{4 \\ 2}. [/mm] als ergebnis müsste ich ja 6 erhalten, aber wie komme ich mit der definition darauf?? was bedeutet hier die "anzahl aller elemente von P(X), die 2 elemente haben"?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:36 Di 04.11.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo,
> nochmal zur definition: am [mm]bsp.:\vektor{4 \\ 2}.[/mm] als
> ergebnis müsste ich ja 6 erhalten, aber wie komme ich mit
> der definition darauf?? was bedeutet hier die "anzahl aller
> elemente von P(X), die 2 elemente haben"?
das bedeutet "die Anzahl aller 2-elementigen Teilmengen von X".
Schau mal meinen Beitrag hier an.
LG
Will
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:03 Di 04.11.2008 | | Autor: | luis52 |
> nochmal zur definition: am [mm]bsp.:\vektor{4 \\ 2}.[/mm] als
> ergebnis müsste ich ja 6 erhalten, aber wie komme ich mit
> der definition darauf?? was bedeutet hier die "anzahl aller
> elemente von P(X), die 2 elemente haben"?
>
>
Hier sind (zeilenweise gelesen und symbolisch) alle 2-elementigen TM von
[mm] $\{1,2,3,4\}$:
[/mm]
| 1: |
| | 2: | 3 4
| | 3: | 2 4
| | 4: | 2 3
| | 5: | 1 4
| | 6: | 1 3
| | 7: | 1 2
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vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:16 Mi 05.11.2008 | | Autor: | gigi |
ok, mein problem war wohl nur, dass ich hier eine definition von potenzmengen als [mm] 2^x [/mm] stehen habe--ich habe P(X) nicht als teilmengen gesehen. also gibt es praktisch, wenn ich nur die definition hernehme, nichts zu berechnen für [mm] \vektor{n\\ k}--ich [/mm] muss mir ja überlegen, wieviele k-elementige teilmengen es nun gibt! dafür haben wir dann die formel, ums schneller zu berechnen, ja?!
setze ich im IA n=1 (dann müsste ich ja beide möglichkeiten für k=0 und k=1 durchspielen, oder?) oder setze ich vielmehr doch k=1? achja, führe ich die induktion überhaupt nach n oder k durch? woran erkenne ich, was günstiger ist?
kann mir bitte jemand noch nen tipp geben, was ich im IS einsetzen soll (außer der IV), verwende ich zb die definition?
danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:07 Mi 05.11.2008 | | Autor: | luis52 |
Da schau her. Vielleicht kannst du dich dort beteiligen. Belegt ihr vielleicht dieselbe Vorlesung?
vg luis
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