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Hallo,
wie ist das nochmal,
ich habe z. B. die Formel: x²+11x+30 und will sie umwandeln in
(x+6) (x+5) dann muss ich doch die letzte Zahl in diesem Fall die 30 aufteilen in 5 mal 6 und die 11 in 5+6 damit ich wieder auf die Klammerform komme.
Wie ist das aber bei komplexeren Formeln wie z. B.
12x²+39x+30
Danke für eure Hilfe
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
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Hallo XXChrissiXX,
> Hallo,
> wie ist das nochmal,
> ich habe z. B. die Formel: x²+11x+30 und will sie
> umwandeln in
> (x+6) (x+5) dann muss ich doch die letzte Zahl in diesem
> Fall die 30 aufteilen in 5 mal 6 und die 11 in 5+6 damit
> ich wieder auf die Klammerform komme.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
allgemein gilt:
$(x+a)(x+b) = [mm] x^2+(a+b)x+a*b$
[/mm]
Daran erkennst du, dass die Zahl vor dem x die Summe von $a$ und $b$ darstellt, das absolute Glied hinten das Produkt aus $a$ und $b$.
Dieses ist aber nur so übersichtlich zu lösen, wenn es sich bei $a$ und $b$ um ganze Zahlen handelt; bei Brüchen gäbe es zu viele Möglichkeiten, Summe und Produkt zu bilden.
> Wie ist das aber bei komplexeren Formeln wie z. B.
> 12x²+39x+30
Hier müßte man zunächst durch $12$ teilen, dann ergäben sich keine ganzen Zahlen. Ich kenne keinen Weg für diese Variante.
Übrigens: diese Aufteilung lehnt sich an den Satz von Vieta an.
Ich hab mal für dich gegoogelt:
![[]](/images/popup.gif) http://www.fonline.de/rs-ebs/algebra/alg29.htm
http://papaspyrou.bei.t-online.de/school/mathe/quadrgl/quadrgl.htm
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> Danke für eure Hilfe
>
Gern geschehen. Wenn man diese Methode ein wenig übt, ist sie in vielen Fällen der p-q-Formel zeitlich gesehen überlegen, man ist also schneller an der Lösung.
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Hallo!
Sei
[mm]f(x)=x^{2}+px+q[/mm]
[mm]f(x)[/mm] kann man ganz allgemein in eine Differenz von Quadraten umwandeln. Und jetzt betrachtet man px als der mittlere Glied in dem Quadrat und danach addiert und substrahiert man das Quadrat.
[mm]f(x)=x^{2}+px +\bruch{p^{2}}{4}-\bruch{p^{2}}{4}+q=\left(x+\bruch{p}{2}\right)^{2}-\left(\bruch{p^{2}}{4}-q\right)=\left(x+\bruch{p}{2}+\wurzel{\bruch{p^{2}}{4}-q}\right)\left(x+\bruch{p}{2}-\wurzel{\bruch{p^{2}}{4}-q}\right)[/mm]
Das ist zugleich die Herleitung der pq-Formel.
Wenn du eine Funktion hast:
[mm]f(x)=ax^{2}+bx+c[/mm]
kannst du sie folgendermaßen faktorisieren:
[mm]f(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2})[/mm]
wobei x1 und x2 die Nullstellen der Funktion sind.
Ähnliches gilt auch für Polinome beliebigen Grades.
Schöne Grüße,
Ladis
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:58 So 29.08.2004 | | Autor: | Emily |
> Hallo,
> wie ist das nochmal,
> ich habe z. B. die Formel: x²+11x+30 und will sie
> umwandeln in
> (x+6) (x+5) dann muss ich doch die letzte Zahl in diesem
> Fall die 30 aufteilen in 5 mal 6 und die 11 in 5+6 damit
> ich wieder auf die Klammerform komme.
Hallo,
so ist das natürlich korrekt. Leider funktioniert es nicht in allen Fällen.
Wie ist das aber bei komplexeren Formeln wie z. B.
> 12x²+39x+30
[mm] 12*x^2+39*x + 30=12*(x^2+ \frac{13}{4}*x+\frac{5}{2})[/mm]
[mm] 12*x^2+39*x + 30=0 \gdw x^2+ \frac{13}{4}*x+\frac{5}{2}=0[/mm]
[mm] x^2+ \frac{13}{4}*x+\frac{5}{2}=0 \gdw (x+\frac{13}{8})^2 =(\frac{13}{8})^2-\frac{5}{2}[/mm]
Der Wert der rechten Seite ist negativ, d.h. es gibt keine Lösung.
Bei Bedarf bitte nachfragen.
Liebe Grüße
Emily
>
> Danke für eure Hilfe
> Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:05 So 29.08.2004 | | Autor: | Josef |
Die Zerlegung in Faktoren kann auch wie folgt vorgenommen werden:
Beispiel:
[mm] x^2-17x+60 [/mm] = Faktoren ?
Hierbei erfüllen die Bedingungen
a+b = -17
a*b = 60
die Zahlen -5 und -12.
1*60 = 60 und 1+60 = 61
2*30 = 60 und 2+30 = 32
3*20 = 60 und 3+20 = 23
4*15 = 60 und 4+15 = 19
5*12 = 60 und 5+12 = 17
Oder ein andere Verfahren:
a+b = -17 | a = -17-b
a*b = 60
für a = (-17-b) in 2. Gleichung einsetzen:
(-17-b)*b = 60
[mm] -17b-b^2-60 [/mm] = 0
[mm] b^2+17b+60 [/mm] = 0
[mm] b_{1;2} [/mm] = -[mm]\bruch{17}{2}\pm\wurzel{(\bruch{289}{4}-\bruch{240}{4})}[/mm]
[mm] b_1 [/mm] = -[mm]\bruch{17}{2}+\bruch{7}{2}=-\bruch{10}{2}[/mm] = -5
[mm] b_2 [/mm] = -[mm]\bruch{17}{2}-\bruch{7}{2}=-\bruch{24}{2}[/mm] = -12
hierbei ist immer die Probe zu machen!
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