biholomorphe abbildung < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeige, dass es keine biholomorphe Abbildung
[mm] \{0<|z|<1\}\to\{r<|z|<1\}
[/mm]
geben kann, wenn r>0 |
Eine biholomorphe Abbildung ist ja bijektiv und holomorph. Also muss ich wahrscheinlich zeiegn, dass die Abbildung dann nicht bijektiv ist, oder? Kann mir jemand weiterhelfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:05 Mi 10.06.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Zeige, dass es keine biholomorphe Abbildung
> [mm]\{0<|z|<1\}\to\{r<|z|<1\}[/mm]
> geben kann, wenn r>0
>
> Eine biholomorphe Abbildung ist ja bijektiv und holomorph.
> Also muss ich wahrscheinlich zeiegn, dass die Abbildung
> dann nicht bijektiv ist, oder? Kann mir jemand
> weiterhelfen?
Kennst du den Riemannschen Hebbarkeitssatz?
LG Felix
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Ja, der Riemannsche Hebbarkeitssatz sagt mir was, aber wie kann ich den hier anwenden?
Er besagt doch, dass f in zo holomorph ergänzt werden kann, wenn f in einer gelochten Umgebung von zo beschränkt ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:10 Mi 10.06.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Ja, der Riemannsche Hebbarkeitssatz sagt mir was, aber wie
> kann ich den hier anwenden?
> Er besagt doch, dass f in zo holomorph ergänzt werden kann,
> wenn f in einer gelochten Umgebung von zo beschränkt ist.
Genau. Und [mm] $\{ z \mid 0 < |z| < 1 \}$ [/mm] ist eine gelochte Umgebung von 0.
LG Felix
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und beschränkt ist das ja auch, also ist f stetig fortsetzbar. Ist das bei
[mm] \{r<|z|<1\} [/mm] nicht und geht das deshalb nicht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:13 Do 11.06.2009 | | Autor: | zorin |
Jetzt mußt du nur noch überlegen, wohin der Punkt, in den du fortsetzen kannst (der Nullpunkt) von der Fortsetzung abgebildet werden könnte, und in welche Widersprüche du dich dann verwickelst.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:09 Do 11.06.2009 | | Autor: | chrisssy |
könnte ich dann argumentieren, dass das holomorph-fortgesetzte f von [mm] B_{1}(0) [/mm] abbildet also von einem gebiet, dann müsste das bild auch ein gebiet sein.
angenommen es gäbe ein biholomorphes f wie in der aufgabenstellung, dann müsste doch die 0 vom fortgesetzten f auf einen punkt vom rand von [mm] \{r<|z|<1\} [/mm] abgebildet werden (oder nicht?). und damit wäre das bild kein gebiet ->widerspruch
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:17 Do 11.06.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> könnte ich dann argumentieren, dass das
> holomorph-fortgesetzte f von [mm]B_{1}(0)[/mm] abbildet also von
> einem gebiet, dann müsste das bild auch ein gebiet sein.
Ja.
> angenommen es gäbe ein biholomorphes f wie in der
> aufgabenstellung, dann müsste doch die 0 vom fortgesetzten
> f auf einen punkt vom rand von [mm]\{r<|z|<1\}[/mm] abgebildet
> werden (oder nicht?).
Ja. Die Funktion ist schliesslich stetig und injektiv.
> und damit wäre das bild kein gebiet
> ->widerspruch
Weil die Menge dann nicht mehr offen ist, ja.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:43 Do 11.06.2009 | | Autor: | zorin |
Ausser f(0) wäre ein isolierter Randpunkt. Deshalb r>0.
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