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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:30 Sa 03.11.2007 | | Autor: | dorix |
| Aufgabe | Man zeige:
[mm] \bruch{\left| a + b \right|}{1 + \left| a + b \right|} \le \bruch{\left| a \right| + \left| b \right| }{ 1 + \left| a \right| + \left| b \right| } \le \bruch{\left| a \right| }{1 + \left| a \right| } + \bruch{\left| b \right| }{1 + \left| b \right|} [/mm]
für alle a,b [mm] \in\IR\sub [/mm] |
hallo ihr da draußen
weiß nicht, wo ich da anfangen soll mit den beträgen...denke, mit den ersten beiden ungleichungen, bei denen ich doch sicher solch eine ominöse fallunterscheidung machen muss, oder?
wenn ich sage, [mm] \left| a+ b\right| > 0 [/mm] wie geht es dann weiter? micht stört die 1 im nenner...
lg dorix
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Fallunterscheidungen sind nicht erforderlich. Beide Ungleichungen lassen sich durch Äquivalenzumformungen auf offensichtlich richtige Ungleichungen zurückführen. Beachte, daß alle Nenner positiv sind. Man darf daher die Ungleichungen problemlos mit ihnen durchmultiplizieren. Die linke Ungleichung ist äquivalent zu
[mm]|a+b| \leq |a| + |b|[/mm]
die rechte zu
[mm]|a||b| \geq 0[/mm]
Das ist ein bißchen Rechenarbeit, führt aber geradeaus zum Ziel. Möglicherweise geht es schneller, wenn man eine geeignete Substitution findet.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:02 Sa 03.11.2007 | | Autor: | dorix |
Ich verstehe nicht ganz, wie ich diese ungleichungen dann beweisen soll?
kann ich das vielleicht so machen:
wenn die erste Umformung ergibt:
[mm] a+ b \le a + b [/mm], eine seite subtrahieren, dann [mm] 0 \le 0 [/mm]
mit der 3. ungleichung:
[mm] 0 \le \bruch{ \left| a \right| }{1 + \left| a \right| [/mm]
ergibt: [mm] 0 \le a [/mm]
mit der letzten [mm]\bruch{\left| a \right|}{1 + \left| a \right|} \le \bruch{\left| b \right|}{1 + \left| b \right|} [/mm] , woraus folgt:
[mm]0 \le b - a [/mm] , also b größer ist als a
reicht das? Wo liegt da der Sinn bzw. ist das ein Beweis?
Vielen Dank für die Bemühungen
lg dorix
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:28 Sa 03.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo dorix!
Betrachten wir mal die linke Ungleichung mit [mm] $\bruch{\left| a + b \right|}{1 + \left| a + b \right|} \le \bruch{\left| a \right| + \left| b \right| }{ 1 + \left| a \right| + \left| b \right| }$ [/mm] und beachten nunmehr Leopold's Tipp und multiplizieren die Ungleichung mit $(1+|a+b|)*(1+|a|+|b|)_$ :
$$|a+b|*(1+|a|+|b|) \ [mm] \le [/mm] \ (|a|+|b|)*(1+|a+b|)$$
Nach dem Ausmultiplizieren und Zusammenfassen sollte dann nur noch die bekannte Dreiecksungleichung verbleiben.
Gruß
Loddar
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:43 Sa 03.11.2007 | | Autor: | dorix |
hallo..
ok, habe leider noch nie was von dreiecksungleichung gehört...habs mal nachgelesen und probiers nochmal:
[mm]a^2 + 2ab + b^2 + a^2(a^2 + 2ab + b^2) + b^2(a^2 + 2ab + b^2) \le a^2 + a^2(a^2 + 2ab + b^2) + b^2(a^2 + 2ab + b^2)[/mm]
und letztlich auf
[mm]2ab \le 0[/mm]
soweit richtig für den ersten teil? bin schon echt am verzweifeln, weil ich den ü-zettel schon montag abgeben muss;-(
was muss ich damit machen? mit der dritten ungleichung verknüpfen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:08 Sa 03.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo dorix!
Wo sind denn beim Ausmultiplizieren Deine ganzen Beträge abgeblieben?
Für die Dreiecksungleichung, die man auf jeden Fall kennen sollte, sieh mal ![[]](/images/popup.gif) hier.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:40 Sa 03.11.2007 | | Autor: | dorix |
sorry, dachte man könnte es einfach ausquadrieren...geht also nicht!?
bin langsam am ende...
dann doch so:
[mm] \left| a + b \right| \le \left| a \right| + \left| b\right|[/mm]
und weiter "vergleichen" mit der nächsten ungleichung?
lg dorix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:22 So 04.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo dorix!
> dann doch so:
>
> [mm]\left| a + b \right| \le \left| a \right| + \left| b\right|[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Genau! Denn genau das ist die oben erwähnte Dreiecksungleichung!
> und weiter "vergleichen" mit der nächsten ungleichung?
Genau: nun nimmst du den Rechten Teil und machst es analog für:
[mm] $$\bruch{\left| a \right| + \left| b \right| }{ 1 + \left| a \right| + \left| b \right| } \le \bruch{\left| a \right| }{1 + \left| a \right| } [/mm] + [mm] \bruch{\left| b \right| }{1 + \left| b \right|}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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Sorry wenn ich dein Thread missbrauche, aber wir haben eine ähnliche Aufgabe. Ich muss
$ [mm] \bruch{\left| a + b \right|}{1 + \left| a + b \right|} \le \bruch{\left| a \right| }{1 + \left| a \right| } [/mm] + [mm] \bruch{\left| b \right| }{1 + \left| b \right|} [/mm] $
indirekt Beweisen. Demzufolge muss ich zeigen das
$ [mm] \bruch{\left| a + b \right|}{1 + \left| a + b \right|} [/mm] > [mm] \bruch{\left| a \right| }{1 + \left| a \right| } [/mm] + [mm] \bruch{\left| b \right| }{1 + \left| b \right|} [/mm] $
nicht gilt.
Ich hab dann den rechten Term erstmal gleichnamig gemacht und komme mittels der Dreiecksungleichung zu:
$ [mm] \bruch{\left| a + b \right|}{1 + \left| a + b \right|} [/mm] > [mm] \bruch{\left| a + b\right| + 2 |a||b|}{1 + \left| a + b \right| + |a||b|} [/mm] $
Ab hier weiß ich aber nicht weiter. Würde gerne auf der rechten Seite den gleichen Term wie links haben + noch nen anderen Term. Damit wär ja bewiesen, dass die Ungleichung nicht geht, aber ich find keine Möglichkeit rechts irgentwie $ [mm] \bruch{\left| a + b \right|}{1 + \left| a + b \right|}$ [/mm] auszuklammern.
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