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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:15 Fr 08.06.2012 | | Autor: | gene |
| Aufgabe | Man zeige oder widerlege folgenden Satz:
Seien A, B Mengen und f : A [mm] \to [/mm] B eine Funktion und U [mm] \subseteq [/mm] A.
Dann gilt [mm] f^{-1}(f(U))\subseteq [/mm] U. |
Moin Moin
kann jemanden mir sagen ob das richtig was ich gemacht habe .
Meine Lösung:
beweis:setze A:={0,1} und [mm] B:=\IR [/mm] .Definiere die funktion f von A nach B durch f(a):=1 für [mm] a\in [/mm] {0,1}.
setze U:={0,1} .dann gilt [mm] U\subseteq [/mm] A.
[mm] f^{-1}(f(U))=f^{-1}( [/mm] {1} ) = {0}
{0} [mm] \subseteq [/mm] {0,1} es gilt also [mm] f^{-1}(f(U))\subseteq [/mm] U.
Danke im voraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:50 Fr 08.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Man zeige oder widerlege folgenden Satz:
> Seien A, B Mengen und f : A [mm]\to[/mm] B eine Funktion und U
> [mm]\subseteq[/mm] A.
> Dann gilt [mm]f^{-1}(f(U))\subseteq[/mm] U.
> Moin Moin
> kann jemanden mir sagen ob das richtig was ich gemacht habe
> .
>
> Meine Lösung:
> beweis:setze A:={0,1} und [mm]B:=\IR[/mm] .
was machst Du da? Du willst zeigen, dass eine Aussage für beliebige Mengen [mm] $A\,,B$ [/mm] gilt, und dann gibst Du welche speziell vor? Gibt's keine anderen Mengen mehr?
> Definiere die funktion f
> von A nach B durch f(a):=1 für [mm]a\in[/mm] {0,1}.
Jetzt wird auch noch [mm] $f\,$ [/mm] definiert??? Gibt's neuerdings nur noch dieses eine [mm] $f\,$?
[/mm]
> setze U:={0,1} .dann gilt [mm]U\subseteq[/mm] A.
> [mm]f^{-1}(f(U))=f^{-1}([/mm] {1} ) = {0}
> {0} [mm]\subseteq[/mm] {0,1} es gilt also [mm]f^{-1}(f(U))\subseteq[/mm]
> U.
Und was glaubst Du nun, damit gezeigt zu haben?
Ein mathematischer Beweis arbeitet nur mit dem, was vorausgesetzt wird, und zwar in seiner vollen Allgemeinheit. Du hast nun alles speziell gemacht - und alleine deswegen habe ich gar nicht detailliert drüber geguckt, ob das, was Du gemacht hast, wenigstens für diesen speziellen Fall stimmt.
Also okay, was ich mal Deiner Frage entnehme: Du vermutest, dass die Aussage richtig ist. Dann schauen wir mal:
Seien [mm] $A,\,B$ [/mm] IRGENDWELCHE Mengen und $f: A [mm] \to [/mm] B$ IRGENDEINE Funktion und es sei $U [mm] \subseteq [/mm] A$ IRGENDEINE Teilmenge von [mm] $A\,.$ [/mm]
Wir wollen [mm] $f^{-1}(f(U)) \subseteq [/mm] U$ beweisen. Wie zeigt man, dass $R [mm] \subseteq [/mm] S$ für Mengen [mm] $R,S\,$ [/mm] gilt? Naja, man hat zu zeigen, dass jedes $r [mm] \in [/mm] R$ auch $r [mm] \in [/mm] S$ erfüllt. Dazu nimmt man IRGENDEIN $r [mm] \in [/mm] R$ her und weist nach, dass dieses dann auch $r [mm] \in [/mm] S$ erfüllt, und weil das $r [mm] \in [/mm] R$ beliebig war, schließt man, dass das dann für alle $r [mm] \in [/mm] R$ gilt.
Also:
Wir geben uns nun IRGENDEIN $x [mm] \in f^{-1}(f(U))$ [/mm] vor. Dann ist also $x [mm] \in f^{-1}(f(U))=\{p \in A: f(p) \in f(U)\}\,.$ [/mm] Daher folgt also $f(x) [mm] \in f(U)\,.$ [/mm] Kann man daraus nun folgern, dass $x [mm] \in [/mm] U$ gelten muss?
(Tipp: Nein, das wirst Du i.a. nicht können (wenn [mm] $f\,$ [/mm] etwa eine gewisse Eigenschaft zusätzlich hätte, könnte man es). Und nun kannst Du in der Tat hergehen, und die Aussage DURCH EIN GEGENBEISPIEL gegenbeweisen (d.h. Du beweist, dass die Aussage FALSCH ist):
Betrachte dazu $f: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] mit [mm] $f(x):=|x|\,.$ [/mm] Setze [mm] $U:=(-\infty,0]\,.$ [/mm] Was ist hier [mm] $f^{-1}(f(U))$?)
[/mm]
P.S.
Was aber gilt, ist $U [mm] \subseteq f^{-1}(f(U))\,.$ [/mm] Kannst Du mir das beweisen?
(Der Beweisanfang dazu beginnt also etwa so: Sei irgendein $u [mm] \in [/mm] U$ gegeben. Dann gilt $f(u) [mm] \in f(U)\,,$ [/mm] denn es ist [mm] $f(U)=\{...\}\,.$ [/mm] Nun gilt per Definitionem, dass [mm] $f^{-1}(f(U))=\{a \in A: f(a) \in f(U)\}\,,$ [/mm] so dass wegen $U [mm] \subseteq [/mm] A$...)
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:06 Sa 09.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo nochmal,
mal nebenbei:
> Man zeige oder widerlege folgenden Satz:
> Seien A, B Mengen und f : A [mm]\to[/mm] B eine Funktion und U
> [mm]\subseteq[/mm] A.
> Dann gilt [mm]f^{-1}(f(U))\subseteq[/mm] U.
> Moin Moin
> kann jemanden mir sagen ob das richtig was ich gemacht habe
> .
>
> Meine Lösung:
> beweis:setze A:={0,1} und [mm]B:=\IR[/mm] .Definiere die funktion f
> von A nach B durch f(a):=1 für [mm]a\in[/mm] {0,1}.
> setze U:={0,1} .dann gilt [mm]U\subseteq[/mm] A.
> [mm]f^{-1}(f(U))=f^{-1}([/mm] {1} ) = {0}
das ist doch Unsinn: Wenn Du [mm] $f(a):=1\,$ [/mm] für $a [mm] \in \{0,1\}$ [/mm] setzt, dann heißt das, dass [mm] $f(0)=f(1)=1\,$ [/mm] gilt. Damit ist (bei Dir) [mm] $f^{-1}(\{1\})=\{0,1\}=A\,.$
[/mm]
Wenn Du mit Deiner Funktion übrigens ein GEGENBEISPIEL erhalten wolltest:
Betrachte [mm] $U:=\{0\} \subsetneqq \{0,1\}=A\,.$ [/mm] Dann wäre [mm] $f^{-1}(f(U))=f^{-1}(f(\{0\}))=f^{-1}(\{1\})=\{0,1\} \not\subseteq U=\{0\}\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:40 Sa 09.06.2012 | | Autor: | gene |
danke Marcel
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