beweis untergruppe < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hi!
auch bei dieser augabe komm ich nicht wirklich voran.
Es sei G eine Gruppe und [mm] U\subseteq [/mm] G eine nichtleere Teilmenge von G. Man beweise:
U ist Untergruppe von G [mm] \gdw \forall [/mm] x,y,z [mm] \in U((xy^{2}z^{-1}) \in [/mm] U)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:29 Mi 20.10.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo RickdaNooki!
Nicht nur Fragen reinstellen, auch mal mitarbeiten! Eigene Ideen und Ansätze liefern und genau sagen, wo es hapert!
Lies dir bitte mal unsere Forenregeln durch.
Wie habt ihr denn eine Untergruppe definiert, d.h. welches Untergruppenkriterium habt ihr zur Verfügung?
Viele Grüße
Stefan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:56 Mi 20.10.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Vermutlich sollst du ja nachweisen, dass die beiden folgenden Untergruppenkriterien äquivalent sind:
Kriterium I
1) $U [mm] \ne \emptyset$
[/mm]
2) $x,y [mm] \in [/mm] U [mm] \quad \Rightarrow \quad [/mm] xy [mm] \in [/mm] U$
3) $x [mm] \in [/mm] U [mm] \quad \Rightarrow \quad x^{-1} \in [/mm] U$
Kriterium II
1') $U [mm] \ne \emptyset$
[/mm]
2') $x,y,z [mm] \in [/mm] U [mm] \quad \Rightarrow \quad xy^2z^{-1} \in [/mm] U$.
Zunächst einmal: Stimmt das so?
Die Richtung "$I [mm] \Rightarrow [/mm] II$" ist einfach, du musst einfach konsequent immerzu 2) und 3) anwenden, um auf 2') schließen zu können.
Bei der Richtung "$II [mm] \Rightarrow [/mm] I$" musst du $x,y,z$ geschickt wählen. Ich zeige dir mal, wie man auf 2) folgert, den Schritt zu 3) versuchst du dann bitte selber.
Wir wollen also aus 2') die Bedingung 2) zeigen.
Seien also $x,y [mm] \in [/mm] U$ beliebig gewählt. Dann sind $x$, $y$ und $z:=y$ Elemente aus U, und damit nach 2') auch
[mm] $xy^2 [/mm] z ^{-1} = [mm] xy^2y^{-1} [/mm] = xy$,
was zu zeigen war.
Schaffst du es jetzt selber von 2') auf 3) zu schließen (falls 1)-3) das richtige Untergruppenkriterium ist)?
Liebe Grüße
Stefan
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