beweis monotonie < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:34 Mi 13.12.2006 | | Autor: | toggit |
| Aufgabe | sei [mm] f:\IR_{0}^{+} \to \IR [/mm] eine stetige Abbildung mit f(0)=0. Auserdem seien differenzierbar auf [mm] \IR^{+} [/mm] und die ableitung f' eine monoton wachsende funktion.
Zeigen sie mit hilfe des mittelwertsatzes, dasss dann [mm] g:\IR^{+} \to \IR, [/mm] x [mm] \mapsto [/mm] g(x):= [mm] \bruch{f(x)}{x} [/mm] monoton waschsend ist |
hallo
also habe folgendes:
nach dem mittelwertsatz für beliebige u,v egsistiert ein c zwischen u,v mit g(v)=g'*(c).
da (v-u) ofensichtlich prüffe ich nur g'c), also:g'(x)= [mm] (\bruch{f(x)}{x}=(\bruch{f'(x)}{x})'=(\bruch{f'(x)*x-f(x)}{x^2})=\bruch{f'(x)}{x}-\bruch{f(x)}{x^2}
[/mm]
dann g ist monoton wachsend wenn [mm] \bruch{f'(x)}{x}-\bruch{f(x)}{x^2}>0
[/mm]
aber hier bekomme ich: [mm] f'(x)>\bruch{f(x)}{x}
[/mm]
und wie beweise ich dass dass stimmt?
oder habe da was falsch gemacht?
gruss toggit
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Der Beweis ist eigentlich recht einfach, du musst nur sinnvoll Nullen einfügen 
[mm]g(x) := \bruch{f(x)}{x} = \bruch{f(x) - 0}{x - 0}[/mm]
[mm]= \bruch{f(x) - f(0)}{x - 0} [/mm]
Nun gibt es nach dem MWS zu jedem x ein [mm] x_0 \in [/mm] (0,x), so daß gilt:
[mm]\bruch{f(x) - f(0)}{x - 0} = f'(x_0)[/mm]
Und da f' monton wachsend ist, somit auch g(x).
Gruß,
Gono.
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