beweis einer untergruppe < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] \IP [/mm] := { [mm] \bruch{m}{n} [/mm] mit m, n [mm] \in \IN [/mm] } ist eine Gruppe bezüglich der normalen multiplikation von rationalen zahlen.
zeige, dass S:= { [mm] 2^k [/mm] mit k [mm] \in \IZ [/mm] } eine untergruppe von [mm] \IP [/mm] ist |
neutrales element:
[mm] 2^0 [/mm] ist das neutrale element von S, mit x [mm] \in [/mm] S : [mm] 2^0*x=1*x=x
[/mm]
inverses element:
[mm] 2^k*2^-k=2^k* \bruch{1}{2^k}= [/mm] [mm] \bruch{2^k}{2^k}=1=2^0 [/mm]
jetzt muss man ja noch die abgeschlossenheit zeigen?!
da hängts irgendwie bei mir. vieleicht kann mir ja wer nen tipp geben, wie man weiter machen muss.
ich habe diese frage in keinem anderen forum gestellt
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Hallo
> [mm]\IP[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
:= { [mm]\bruch{m}{n}[/mm] mit m, n [mm]\in \IN[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} ist eine Gruppe
> bezüglich der normalen multiplikation von rationalen
> zahlen.
> zeige, dass S:= { [mm]2^k[/mm] mit k [mm]\in \IZ[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} eine untergruppe von
> [mm]\IP[/mm] ist
> neutrales element:
> [mm]2^0[/mm] ist das neutrale element von S, mit x [mm]\in[/mm] S :
> [mm]2^0*x=1*x=x[/mm]
>
> inverses element:
> [mm]2^k*2^-k=2^k* \bruch{1}{2^k}=[/mm] [mm]\bruch{2^k}{2^k}=1=2^0[/mm]
>
> jetzt muss man ja noch die abgeschlossenheit zeigen?!
> da hängts irgendwie bei mir. vieleicht kann mir ja wer
> nen tipp geben, wie man weiter machen muss.
>
Betrachte 2 Elemente, also [mm] 2^{l} [/mm] und [mm] 2^{k} [/mm] und multipliziere sie ;) Was kriegst du?
> ich habe diese frage in keinem anderen forum gestellt
Grüsse, Amaro
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danke erstmal für die hilfe.
also [mm] 2^l, 2^k \in [/mm] S : [mm] 2^l*2^k=2^{k+l} \in [/mm] S
habe ich damit schon gezeigt, dass S eine untergruppe von [mm] \IP [/mm] ist? eigentlich doch nur, dass S die gruppenaxiome erfüllt, oder?
gruß,
mathemonster
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Hallo
> danke erstmal für die hilfe.
>
> also [mm]2^l, 2^k \in[/mm] S : [mm]2^l*2^k=2^{k+l} \in[/mm] S
> habe ich damit schon gezeigt, dass S eine untergruppe von
> [mm]\IP[/mm] ist? eigentlich doch nur, dass S die gruppenaxiome
> erfüllt, oder?
Naja, jede Untergruppe ist mit der von der Gruppe induzierten Verknüpfung wieder eine Gruppe.. :) Von dem her sind die Gruppenaxiome zu prüfen, ja..
>
> gruß,
> mathemonster
Grüsse, Amaro
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> Naja, jede Untergruppe ist mit der von der Gruppe
> induzierten Verknüpfung wieder eine Gruppe.. :) Von dem
> her sind die Gruppenaxiome zu prüfen, ja..
irgenwie verstehe ich nich so recht was du meinst. muss ich noch irgendwas zeigen, oder bin ich schon fertig? ich hab nämlich das gefühl, dass ich noch irgendwas zeigen muss, leider weiß ich nicht was :-(
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> > Naja, jede Untergruppe ist mit der von der Gruppe
> > induzierten Verknüpfung wieder eine Gruppe.. :) Von dem
> > her sind die Gruppenaxiome zu prüfen, ja..
>
> irgenwie verstehe ich nich so recht was du meinst. muss ich
> noch irgendwas zeigen, oder bin ich schon fertig? ich hab
> nämlich das gefühl, dass ich noch irgendwas zeigen muss,
> leider weiß ich nicht was :-(
Du hattest eine Gruppe gegeben und eine Menge, in dieser Gruppe.
Das einzige, was zu machen ist, ist die Gruppenaxiome auf diese Untermenge zu prüfen. Dies hast du bereits getan!
Es fehlt aber noch die Assoziativität..
Also würde ich sagen, du bist fertig :)
Grüsse, Amaro
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ach ja... assoziativität, da war doch was 
also [mm] 2^l,2^k,2^m \in [/mm] S:
[mm] (2^k*2^l)*2^m=2^{k+l}*2^m=2^{k+l+m}=2^k*2^{l+m}=2^k*(2^l*2^m)
[/mm]
so, jetzt hab ich ja alle gruppenaxiome gezeigt, aber ich habe doch nur gezeigt, dass S alle gruppenaxiome erfüllt. aber nirgendwo steht, dass S eine untergruppe von [mm] \IP [/mm] ist. da muss doch noch irgendwas fehlen. sonst könnte S ja untergruppe von irgendetwas sein, oder?!
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Hallo
> ach ja... assoziativität, da war doch was
> also [mm]2^l,2^k,2^m \in[/mm] S:
>
> [mm](2^k*2^l)*2^m=2^{k+l}*2^m=2^{k+l+m}=2^k*2^{l+m}=2^k*(2^l*2^m)[/mm]
> so, jetzt hab ich ja alle gruppenaxiome gezeigt, aber ich
> habe doch nur gezeigt, dass S alle gruppenaxiome erfüllt.
> aber nirgendwo steht, dass S eine untergruppe von [mm]\IP[/mm] ist.
> da muss doch noch irgendwas fehlen. sonst könnte S ja
> untergruppe von irgendetwas sein, oder?!
Nun, lässt sich [mm] 2^{i}, [/mm] i [mm] \in \IZ [/mm] als [mm] \frac{m}{n}, [/mm] m,n [mm] \in \IN [/mm] schreiben? :)
Grüsse, Amaro
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