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| Aufgabe | sei K ein Körper. Auf der Menge G= (K \ {0} ) [mm] \times [/mm] K sei die Verknüpfung
[mm] \circ: [/mm] G [mm] \times [/mm] G [mm] \to [/mm] G definiert durch: (a,x) [mm] \circ [/mm] (b,y) = (ab, xb+y)
Zeigen Sie, dass (G, [mm] \circ) [/mm] eine Gruppe ist. |
Also ich denke mal man muss irgendwie die Eigenschaften einer Gruppe nachweisen (Assoziativität, Ex.des neutralen Elements, Ex von inversen Elementen). Die Frage ist jetzt nur wie. mein problem ist, dass ich die Gleichung (a, x) [mm] \circ [/mm] (b,y) = (ab, xb+y) nicht versteh, weiß nicht wo die herkommt. außerdem weiß ich nicht für was das [mm] \circ [/mm] steht, bedeutet das nur verknüpfung allgemein oder "mal"? wie fange ich da an? danke
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Hallo
> sei K ein Körper. Auf der Menge G= (K \ {0} ) [mm]\times[/mm] K sei
> die Verknüpfung
> [mm]\circ:[/mm] G [mm]\times[/mm] G [mm]\to[/mm] G definiert durch: (a,x) [mm]\circ[/mm] (b,y)
> = (ab, xb+y)
> Zeigen Sie, dass (G, [mm]\circ)[/mm] eine Gruppe ist.
> Also ich denke mal man muss irgendwie die Eigenschaften
> einer Gruppe nachweisen (Assoziativität, Ex.des neutralen
> Elements, Ex von inversen Elementen).
Genau, diese Axiome sind zu verifizieren.
> Die Frage ist jetzt
> nur wie. mein problem ist, dass ich die Gleichung (a, x)
> [mm]\circ[/mm] (b,y) = (ab, xb+y) nicht versteh, weiß nicht wo die
> herkommt. außerdem weiß ich nicht für was das [mm]\circ[/mm]
> steht, bedeutet das nur verknüpfung allgemein oder "mal"?
> wie fange ich da an? danke
Nun, du hast zwei Elemente, die mit [mm] \circ [/mm] verknüpft werden (auf die obige Art).
Eine Gruppe hat nur eine Verknüpfung, und diese muss assoziativ sein.
Also, nimm einfach 3 Elemente und schaue mal, ob beim vertauschen der Klammern das selbe Resultat raus kommt :)
Dann einfach noch inverses und neutrales Element finden.. (also für das Inverse beispielsweise (a,a') [mm] \circ [/mm] (b,b') = (e,e'). Was ist (b,b')? Natürlich zuerst das neutrale Element finden..)
Solltest du nicht weiterkommen, einfach nachfragen!
Grüsse, Amaro
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