beweis Gruppe IR < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:51 So 28.10.2007 | | Autor: | cloui |
Hallo,
ich soll zeigen dass [mm] (\IR+,\circ) [/mm] eine gruppe ist.
prinzipiell weiß ich wie das geht, man muss beweisen das das assoziativgesetz gilt, das es wein neutrales element und ein inverses gibt, aber wie wende ich das auf [mm] \IR+ [/mm] an? kann ich einfach ein a,b,c [mm] \in \IR [/mm] bestimmen und damit das assoziativgesetz beweisen? oder bei dem neutralen element, bestimme ich da einfach ein e für das gilt e*a = a???
ich bin mir nicht sicher wie ich das formal korrekt aufschreiben kann
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> Hallo,
> ich soll zeigen dass [mm](\IR+,\circ)[/mm] eine gruppe ist.
> prinzipiell weiß ich wie das geht, man muss beweisen das
> das assoziativgesetz gilt, das es wein neutrales element
> und ein inverses gibt, aber wie wende ich das auf [mm]\IR+[/mm] an?
> kann ich einfach ein a,b,c [mm]\in \IR[/mm] bestimmen und damit das
> assoziativgesetz beweisen? oder bei dem neutralen element,
> bestimme ich da einfach ein e für das gilt e*a = a???
> ich bin mir nicht sicher wie ich das formal korrekt
> aufschreiben kann
Hallo,
Ihr habt sicher irgendwo gezeigt, daß [mm] \IR [/mm] \ [mm] \{0\} [/mm] zusammen mit der Multiplikation eine Gruppe ist.
Du hast nun eine Teilmenge dieser Gruppe vorliegen, mußt also lediglich die Untergruppenkriterien überprüfen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:14 Mo 29.10.2007 | | Autor: | cloui |
ok, ich versuch es jetzt mal formal richtig aufzuschreiben:
Es sei die Gruppe [mm] (\IR,+) [/mm] und die Menge [mm] \IR+ [/mm] gegeben
um zu zeigen, dass es sich hierbei um eine gruppe handelt, überprüfe man ob ein neutrales und inverses element existiert und ob man das assoziativgesetz anwenden kann
Inverses element:
[mm] \forall x\inG \exists x^{-1}\inG: x*x^{-1}=1
[/mm]
Neutrales element:
[mm] \forallx\inG\exists1\inG: [/mm] x*1=x
assoziativgesetz:
[mm] \existsa,b,c\inG, [/mm] sodass gilt: a°(b°c) = (a°b) °c
(a1,a2)°[(b1,b2)°(c1,c2)] (und das dann ausrechnen)
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Hallo,
bei Euch war "Untergruppe" anscheinend noch nicht dran.
Du willst also die Gruppeneigenschaften für [mm] (\IR_+,*)nachweisen.
[/mm]
> Es sei die Gruppe [mm](\IR,+)[/mm]
Ich dachte, es ginge um Multiplikation???
> und die Menge [mm]\IR+[/mm] gegeben
mit welcher Verknüpfung?
> um zu zeigen, dass es sich hierbei um eine gruppe handelt,
> überprüfe man ob ein neutrales und inverses element
> existiert und ob man das assoziativgesetz anwenden kann
Dazu hast u zu zeigen:
1. [mm] \IR_+ [/mm] ist nichtleer
2. * ist eine innerer Verknupfung, d.h. für [mm] a,b\in \IR^+ [/mm] ist [mm] a*b\in \IR_+
[/mm]
3. Die Verknüfung ist assoziativ, d.h. für alle [mm] a,b,c\in \IR [/mm] gilt a*(b*c)=(a*b)*c
4. Es gibt ein neutrales Element in [mm] \IR_+
[/mm]
5. Jedes Element aus [mm] \IR_+ [/mm] hat ein Inverses.
Bei dem, was Du schreibst gibt es einige Ungereimtheiten, daß Du Dinge vergessen hast, ist Dir inzwischen sicher klar.
Normalerweise beginnt man mit den Eigenschaften der Verknüpfung.
Und dann kannst Du doch nicht das inverses Element vor dem neutralen abhandeln! (Warum?)
> assoziativgesetz:
> [mm]\existsa,b,c\inG,[/mm] sodass gilt: a°(b°c) = (a°b) °c
> (a1,a2)°[(b1,b2)°(c1,c2)] (und das dann ausrechnen)
Ich verstehe nicht, was da soll. Wo kommen denn die Zahlenpaare plötzlich her?
Oder hast Du nicht die komplette Aufgabenstellung gepostet?
Habt Ihr womöglich irgendeine Speziallverknüpfung ° auf der Menge von Zahlenpaaren? (Darauf gab's bisher keinen Hinweis von Dir)
>
> Neutrales element:
> [mm]\forallx\inG\exists1\inG:[/mm] x*1=x
Das ist zu zeigen fürs neutrale Element.
Gezeigt hast Du noch nichts. Du mußt nachweisen, daß die 1 in [mm] \IR_+ [/mm] liegt und das gewünschte tut.
> Inverses element:
> [mm]\forall x\inG \exists x^{-1}\inG: x*x^{-1}=1[/mm]
Das ist zu zeigen.
Hierzu mußt Du zeigen, daß für ein beliebiges x [mm] \in \IR [/mm] das Inverse existert und in [mm] \IR_+ [/mm] liegt.
Bevor Du irgendetwas tust, brauchen wir die Aufgabenstellung.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:42 Mo 29.10.2007 | | Autor: | cloui |
| Aufgabe | Es seien (G,*G) und (H,*H) zwei Gruppen. Eine Abbildung f: G->H heißt gruppenhomomorphismus, falls für alle [mm] a,b\inG [/mm] gilt:
f(a *G b) = f(a) *H f(b)
es sei [mm] (\IR,+) [/mm] die gruppe, die aus den reellen zahlen [mm] \IR [/mm] zusammen mit "+" als verknüpfung besteht. weiter sei [mm] \IR+ [/mm] die menge der pos. reellen zahlen. zeige, dass [mm] (\IR+,*) [/mm] eine gruppe, wobei "*" die übliche multiplikation auf [mm] \IR+ [/mm] bezeichnet. es sei exp: [mm] (\IR,+) [/mm] -> [mm] (\IR+,*), x->e^{x} [/mm] die exponentialfunktion. zeige, dass exp ein gruppenhomomorphismus ist |
so, hab die aufgabe jetzt mal aufgeschrieben.
nein wir hatten untergruppen noch nicht, was aber mal wieder typisch is das wir sachen machen müssen die wir noch nicht hatten.
also den beweis der exponentialfunktion hab ich schon gemacht, den kann ich auch gerne mal aufschreiben.
das problem ist jetzt also wirklich nur das [mm] (\IR+,*) [/mm] zu beweisen (hatte mich oben wohl vertippt :))
wie beweise ich denn das 1 das neutrale element ist und in [mm] \IR+ [/mm] enthslten ist. ist ja eigtl logisch das 1 reell und positiv ist
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> Es seien (G,*G) und (H,*H) zwei Gruppen. Eine Abbildung f:
> G->H heißt gruppenhomomorphismus, falls für alle [mm]a,b\inG[/mm]
> gilt:
> f(a *G b) = f(a) *H f(b)
> es sei [mm](\IR,+)[/mm] die gruppe, die aus den reellen zahlen [mm]\IR[/mm]
> zusammen mit "+" als verknüpfung besteht. weiter sei [mm]\IR+[/mm]
> die menge der pos. reellen zahlen. zeige, dass [mm](\IR+,*)[/mm]
> eine gruppe, wobei "*" die übliche multiplikation auf [mm]\IR+[/mm]
> bezeichnet. es sei exp: [mm](\IR,+)[/mm] -> [mm](\IR+,*), x->e^{x}[/mm] die
> exponentialfunktion. zeige, dass exp ein
> gruppenhomomorphismus ist
> so, hab die aufgabe jetzt mal aufgeschrieben.
Gut, sie ist dann ja doch so, wie ich zuerst dachte, die pos. reellen Zahlen mit der Multiplikation.
> nein wir hatten untergruppen noch nicht, was aber mal
> wieder typisch is das wir sachen machen müssen die wir noch
> nicht hatten.
Daß Ihr die Untergruppe noch nicht hattet, macht überhaupt nichts aus.
Mit den Gruppenaxiomen hast Du das nötige Handwerkszeug.
Bei allem, was Du tust, kannst Du Dich auf die bisher BEWIESENEN Eigenschaften fürs Rechnen in reellen Zahlen berufen.
Ebenso benötigst Du Eigenschaften der Anordnung.
> wie beweise ich denn das 1 das neutrale element ist und in
> [mm]\IR+[/mm] enthslten ist. ist ja eigtl logisch das 1 reell und
> positiv ist
Naja, ob's logisch ist, sei dahingestellt, aber die 1 ist reell, positiv (hattet Ihr das?) tut das Gewünschte, also ist es das neutrale Element.
Fürs inverse dann so ähnlich. (Berufe Dich immer auf Bewiesenes/Mitgeteiltes):
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:35 Mo 29.10.2007 | | Autor: | cloui |
ich hab hier einen nachweis für das assoziativgesetz versucht, kann ich das auch so auf diese aufgabe anwenden?
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> ich hab hier einen
> nachweis für das assoziativgesetz versucht, kann ich das
> auch so auf diese aufgabe anwenden?
Nein. die Situation hier und da ist ja eine völlig andere. Drüben zeigst Du die Assoziativität der Verkettung von Funktion, hier sollst Du es für die Multiplikation von pos. reellen Zahlen zeigen.
Das ist aber völlig unproblematisch: aus der Vorlesung weißt Du doch, daß [mm] \IR [/mm] ein Körper ist, also gilt in [mm] (\IR,*) [/mm] die Assoziativität der Multiplikation. Daher muß sie in [mm] (\IR_+,*) [/mm] auch gelten.
Gruß v. Angela
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