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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:33 Di 28.06.2005 | | Autor: | annaL |
Und der zweite Teil der Aufgabe ist es, dass ich beweisen oder widerlegen soll dass gilt:
sup ( -A ) = -inf ( A )
Auch hier gilt wieder : Unter der Menge - A versteht man { - x [mm] \varepsilon [/mm] R / x [mm] \varepsilon [/mm] A }
Für x [mm] \varepsilon [/mm] A gilt, wenn ich es mit ( -1 ) multipliziere : -x [mm] \varepsilon [/mm] -A. Richtig?
Dann könnte ich mir also ein Supremum s von ( -A ) konsturieren.
Das sähe dann wie folgt aus:
s = Sup ( -A ) , i = -s
Dann würde gelten :
- x [mm] \le [/mm] s ( aufgrund des Eigenschaften des Supremums dass stets gilt : x [mm] \le [/mm] s ) .
Daraus würde folgen, wenn ich wieder mit ( -1 ) multiplizieren würde : x [mm] \ge [/mm] -s , bzw. x [mm] \ge [/mm] i.
Demnach wäre i eine untere Schranke für A!
Aber ab hier weiß ich nicht weiter. Bin ich bis hierher überhaupt richtig??
DANKE!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Und der zweite Teil der Aufgabe ist es, dass ich beweisen
> oder widerlegen soll dass gilt:
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> sup ( -A ) = -inf ( A )
>
> Auch hier gilt wieder : Unter der Menge - A versteht man {
> - x [mm]\varepsilon[/mm] R / x [mm]\varepsilon[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
A }
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> Für x [mm]\varepsilon[/mm] A gilt, wenn ich es mit ( -1 )
> multipliziere : -x [mm]\varepsilon[/mm] -A. Richtig?
>
> Dann könnte ich mir also ein Supremum s von ( -A )
> konsturieren.
>
> Das sähe dann wie folgt aus:
>
> s = Sup ( -A ) , i = -s
>
> Dann würde gelten :
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> - x [mm]\le[/mm] s ( aufgrund des Eigenschaften des Supremums dass
> stets gilt : x [mm]\le[/mm] s ) .
> Daraus würde folgen, wenn ich wieder mit ( -1 )
> multiplizieren würde : x [mm]\ge[/mm] -s , bzw. x [mm]\ge[/mm] i.
> Demnach wäre i eine untere Schranke für A!
>
> Aber ab hier weiß ich nicht weiter. Bin ich bis hierher
> überhaupt richtig??
> DANKE!
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Bis dahin ist das sehr richtig ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") , auch wenn Du zum Zwecke der besseren Lesbarkeit deiner Artikel Du vielleicht besser den Formeleditor verwendest.
Du hast also gezeigt, daß dein konstruierter Kandidat für das infimum tatsächlich eine untere Schranke für -A ist.
Jetzt bleibt zu zeigen, daß es auch die größte untere Schranke ist, was aber auch nicht schwer fällt.
Nehmen wir doch mal an, es gäbe eine größere untere Schranke c für -A als s. Dann gilt also für alle [mm] $x\in-A$: $x\le [/mm] c$... was folgt damit dann für -x?
Du bist wirklich nicht sehr weit vom Ziel entfernt...
Gruß,
Christian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:06 Di 28.06.2005 | | Autor: | annaL |
ich müsste auch hier mit - 1 multiplizieren. dann würde ich erhalten : -x [mm] \varepsilon [/mm] A und demzufolge -x [mm] \ge [/mm] - c. Oder???
Und was sagt mir das dann?
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Eben das ist der entscheidende Schritt... jetzt muß noch eingehen, daß das c größer war als das s, wobei -s ja gleichzeitig das Supremum von A war...
Gruß,
Christian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:25 Di 28.06.2005 | | Autor: | annaL |
und wie mache ich das bitte? da habe ich überhaupt keine ahnung :(
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:38 Di 28.06.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Also noch einmal:
Du wolltest zeigen, dass $i=-s$ die größte untere Schranke von $A$ ist, wobei [mm] $s=\sup(-A)$ [/mm] gilt.
Du hast bereits gezeigt, dass $i$ überhaupt eine untere Schranke von $A$ ist.
Sei nun $c$ eine weitere untere Schranke von $A$. Dann ist zu zeigen: $i [mm] \ge [/mm] c$.
Nach Voraussetzung gitl:
$c [mm] \le [/mm] x$ für alle $x [mm] \in [/mm] A$.
Daraus folgt für alle $x [mm] \in [/mm] A$ durch Multiplikation mit $-1$:
$-c [mm] \ge [/mm] -x$,
oder anders gesagt:
$-c [mm] \ge [/mm] y$ für alle $y [mm] \in [/mm] -A$.
Es ist also $-c$ eine obere Schranke von $-A$. Nun ist aber $s$ die kleinste obere Schranke von $-A$. Daher gilt:
$s [mm] \le [/mm] -c$,
also:
$i = -s [mm] \ge [/mm] c$,
was zu zeigen war.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:41 Di 28.06.2005 | | Autor: | annaL |
danke :) dann war ich ja bis über die hälfte richtig :) freu!!!
Dann mache ich mich gleich noch an meinen anderen beweis so zur übung :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:36 Mi 29.06.2005 | | Autor: | annaL |
hallo stefan!
Einige sachen sind mir noch nicht ganz klar bei deinem 2.teil des beweises. Wäre nett wenn du mir folgendes noch einmal erläutern könntest:
du hast geschrieben :
oder anders gesagt :
-c [mm] \ge [/mm] -x, oder anders gesagt : -c [mm] \ge [/mm] y für alle x element aus A.
Hier komme ich schon nicht mit. Kann ich das - x einfach durch y ersetzen oder wie komt es dazu?
dann steht dort : s [mm] \le [/mm] -c , also : i = -s [mm] \ge [/mm] c, was zu zeigen war.
Diesen schritt verstehe ich auch nicht ganz. wie kommt du auf die gleichung : i = ... ? und wieso ist das das was ich zeigen sollte?????
DANKE!!!!!!!!!!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:36 Do 30.06.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
> -c [mm]\ge[/mm] -x, oder anders gesagt : -c [mm]\ge[/mm] y für alle y
> element aus A.
>
> Hier komme ich schon nicht mit. Kann ich das - x einfach
> durch y ersetzen oder wie komt es dazu?
ganz genau (-x) ist ja ein Element aus (-A) , deshalb kann man es einfach umbenennen, also : y aus (-A)
> dann steht dort : s [mm]\le[/mm] -c , also : i = -s [mm]\ge[/mm] c, was zu
> zeigen war.
> Diesen schritt verstehe ich auch nicht ganz. wie kommt du
> auf die gleichung : i = ... ? und wieso ist das das was ich
> zeigen sollte?????
erstmal hat Stefan bzw. du ganz am Anfang definiert : i=-s, wobei s eine besondere Rolle gespielt hat (kleinste obere Schranke von -A )
nun weisst du schon, dass i eine untere Schranke ist, aber du willst noch zeigen, dass $ [mm] i\ge [/mm] c$ für jede untere Schranke c ist, also dass i die größte untere Schranke ist [also: i=inf(A) ]
und wie man auf die Ungleichung kommt, hat Stefan doch wunderschön beschrieben:
-c ist größer als jedes y aus -A, deshalb eine obere Schranke, aber s ist kleinste obere Schranke, also $ [mm] s\le [/mm] c $
durch Multiplikation mit (-1) erhält man $ [mm] -s\ge [/mm] c $
und weil i=-s definiert wurde, folgt : $ [mm] i=-s\ge [/mm] c $
ich hoffe, jetzt ist es klarer
viele Grüße
DaMenge
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