bestimmtes Integral bestimmen < Integr.+Differenz. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:39 Mo 26.07.2010 | | Autor: | lzaman |
| Aufgabe | | [mm] \integral_{0}^{2}{x^3*sin(x^2) dx} [/mm] |
Hallo, ich versuche gerade die Aufgabe durch partielle Integration zu lösen, komme aber nicht auf die Stammfunktion von [mm] sin(x^2). [/mm] Habt ihr einen kleinen Tipp für mich?
Gruß Lzaman
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:48 Mo 26.07.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Lzaman!
Die Integration der Teilfunktion [mm] $\sin(x^2)$ [/mm] wird sich als sehr schwierig bis unmöglich erweisen (zumindest in geschlossener Form).
Beginne bei Deinem Integral mit der Substitution $z \ := \ [mm] x^2$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:17 Mo 26.07.2010 | | Autor: | lzaman |
Danke, habe aber einen Fehler in der Aufgabenstellung. Es muss [mm] \integral_{0}^{2}{x^3\cdot{}sin(x^2) dx} [/mm] heißen. Und schaffe es leider nicht hier zu substitionieren...
Ich erkenne hier noch nicht mal einen Integraltypen.
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Hallo,
wie Loddar schon schreib, substituiere $ [mm] u:=x^2 [/mm] $ [mm] \Rightarrow [/mm] $ du=2x\ dx $.
Das führt das ganze auf
[mm] \bruch{1}{2}\integral_{0}^{4}{usin(u)du} [/mm] zurück, das kannst du partiell integrieren.
lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:49 Mo 26.07.2010 | | Autor: | lzaman |
Nun gut, so erhalte ich
[mm] u*(-cos(u))|_0^2-\integral_{0}^{2}{1*(-cos(x))dx}
[/mm]
Ist das erstmal richtig so? Das wärs aber auch schon, weiter komme ich nun wieder nicht. Habe ziemliche Schwierigkeiten die Aufgabe zu verstehen. Vor allem kann ich das noch nicht so gut mit der partiellen Integration und Substitution. Bitte euch dringend um Rat.
Gruß Lzaman
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hallo,
> Nun gut, so erhalte ich
>
> [mm]u*(-cos(u))|_0^2-\integral_{0}^{2}{1*(-cos(x))dx}[/mm]
na das schonmal zu 75 % richtig, du musst nur auch die grenzen substituieren. alternativ kannst du auch erst die stammfunktion bestimmen und hinterher für jedes u ein [mm] x^2 [/mm] einsetzen.
Wie du den cos(u) integrierst, ist dir nicht klar ? kleiner tipp, was ist denn sin(x) abgeleitet ?
> Ist das erstmal richtig so? Das wärs aber auch schon,
> weiter komme ich nun wieder nicht. Habe ziemliche
> Schwierigkeiten die Aufgabe zu verstehen. Vor allem kann
> ich das noch nicht so gut mit der partiellen Integration
> und Substitution. Bitte euch dringend um Rat.
s.o.
> Gruß Lzaman
>
>
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:35 Mo 26.07.2010 | | Autor: | lzaman |
Sorry, aber welche Grenzen werden subtituiert? Hab in den Aufgaben und im Internet leider nur unbestimmte Integrale mit solch ähnlicher Aufgabenstellung gefunden, deswegen ist mir das noch nicht so ganz klar? Vor allem sind hier die Grenzen auch beibehalten worden:
[mm] \int_{0}^{2}{usin(u)du} [/mm]
LG Lzaman
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Hallo,
schau mal:
Du substituierst [mm] u=x^2 [/mm] dann wird doch für x=0 (die untere grenze) auch u=0. für x=2 ist u=4 (die obere grenze). Dein Integral in u hat also die grenzen 0 und 4. Den Fehler oben hab ich korrigiert. Wir hatten außerdem ein [mm] \frac{1}{2} [/mm] unterschlagen ! s.o.
Deine stammfunktion stimmt (bis auf das 1/2). setz noch die grenzen ein und freu dich über dein richtiges ergebnis.
Um so etwas schnell nachzuschauen, schau mal bei wolframalpha.com nach und tippe dort ein:
[mm] x^3*sin(x^2) [/mm] integral, da kannst du dir dann unter "show steps" (oben rechts) alles anzeigen lassen.
lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:03 Mo 26.07.2010 | | Autor: | lzaman |
Ich kann mir noch nichts konkretes drunter vorstellen, sag mir bitte, ob es so gemeint ist:
[mm] u\cdot{}(-cos(u))|_0^4-\integral_{0}^{4}{1\cdot{}(-cos(u))du} [/mm]
[mm] =u\cdot{}(-cos(u))|_0^4+sin(u)|_0^4 [/mm]
[mm] 4\cdot(-cos(4))+sin(4) [/mm] ?
Denn, wenn ich das nachrechne komme ich auf das doppelte der Lösung. irgendwie schaffe ich es noch nicht auf die [mm] \bruch{1}{2} [/mm] zu kommen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:51 Mo 26.07.2010 | | Autor: | suxul |
[mm] \integral_{0}^{2}{x^{3} sin(x^{2}) dx}
[/mm]
= [mm] \integral_{0}^{2}{x^{2} x sin(x^{2}) dx}
[/mm]
subst. mit [mm] u=x^{2} [/mm] -> du= 2x
(um du im integral zu erhalten muss 2 ergänzt und damit auch [mm] \bruch{1}{2} [/mm] hinzugefügt werden; des weiteren werden um resubst. zu ersparen die grenzen gleich mitsubst.)
man erhält:
[mm] \bruch{1}{2}\integral_{0}^{4}{u sin{u} du}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2} -cos(u)u\vmat{ 0 & 4 } [/mm] - [mm] \integral_{0}^{4}{-cos{u} du}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2} -cos(u)u\vmat{ 0 & 4 } [/mm] - [mm] sin(u)\vmat{ 0 & 4 }
[/mm]
=...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:25 Di 27.07.2010 | | Autor: | lzaman |
Guten Abend, also irgendwie ergeben sich noch Fragen meinserseits zur Substitution. Die Integralgleichung lautet doch
[mm] \integral_{0}^{2}{x^3\cdot{}sin(x^2) dx}=\integral_{0}^{2}{x^2*\red{x}\cdot{}sin(x^2) dx}
[/mm]
Jetzt mache ich eine Substitution mit [mm] \;u=x^2 [/mm] also [mm] \;du=2x\;dx [/mm] richtig?
Nun folgt:
für die untere Grenze: [mm] \;x=0 \;\Rightarrow \;u=0^2=0
[/mm]
für die obere Grenze: [mm] \;x=2 \;\Rightarrow \;u=2^2=4
[/mm]
[mm] \integral_{0}^{4}{u\cdot{}sin(u)*\red{x}\;\bruch{du}{2x}}=\integral_{0}^{4}{u\cdot{}sin(u)\;\bruch{du}{2}}=\bruch{1}{2}\integral_{0}^{4}{u\cdot{}sin(u)\;du}
[/mm]
Ist das so richtig von mir verstanden worden? will nämlich gleich noch weitermachen. Und kürzt sich das rote x auf diese Weise oder wie sonst?
Danke euch nochmals, so langsam versuche ich es zu verdauen.
LG Lzaman
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Hallo,
das is soweit korrekt.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:46 Di 27.07.2010 | | Autor: | lzaman |
Super also weiter gehts:
nun die partielle Integration anwenden mit [mm] \integral_{a}^{b}{u(x)*v'(x)\;dx}=[u(x)*v(x)]^b_a-\integral_{a}^{b}{u'(x)*v(x)\;dx}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2}[u*(-cos(x))]^4_0-\integral_{0}^{4}{1*sin(u)\;du}=\bruch{1}{2}[u*(-cos(x))]^4_0-[-cos(x)]^4_0 [/mm]
Ist das so korrekt? Denn jetzt stellt sich mir die Frage wie ich den Wert berechne, das ist mir nämlich nicht so ganz klar geworden...
Muss ich jetzt etwa nur die Werte einsetzen und nach dem Schema [mm] [F(x)]^b_a=F(b)-F(a) [/mm] rechnen?
LG Lzaman
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Hallo, dir ist bei der partiellen Integration ein Fehler unterlaufen
[mm] \bruch{1}{2}\integral_{0}^{4}{z*sin(z) dz}
[/mm]
ich schreibe mal "z" sonst kann es zu Konflikten mit den Variablen kommen
u=z somit u'=1
v'=sin(z) somit v=-cos(z)
jetzt partielle Integration
[mm] \bruch{1}{2}[-z*cos(z)^4_0-\integral_{0}^{4}{-cos(z) dz}]
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2}[-z*cos(z)^4_0+\integral_{0}^{4}{cos(z) dz}]
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2}[-z*cos(z)^4_0+sin(z)^4_0]
[/mm]
jetzt erkennst du deinen Fehler beim 2. Summanden in der Klammer, jetzt die Grenzen einsetzen, beachte, den Taschenrechner auf Bogenmaß zu stellen, Ziel ist [mm] \approx0,92888
[/mm]
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:10 Di 27.07.2010 | | Autor: | lzaman |
Eine Frage noch, dann werde ich die Zusammenfassung machen, da diese Diskussion ein bissle lang wurde:
kann ich [mm] \bruch{1}{2}[-z\cdot{}cos(z)^4_0+sin(z)^4_0] [/mm] als [mm] \bruch{1}{2}[-z\cdot{}cos(z)+sin(z)]^4_0 [/mm] schreiben?
LG Lzaman
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Hallo,
genauso und nicht anders. Dezimalzahlen stinken !
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:35 Di 27.07.2010 | | Autor: | lzaman |
Guten Abend,
nun ist es soweit und dank der Mitglieder im Forum habe ich eine ausführliche Lösung:
$ [mm] \integral_{0}^{2}{x^3\cdot{}sin(x^2) dx}=\integral_{0}^{2}{x^2\cdot{}\red{x}\cdot{}sin(x^2) dx} [/mm] $
Jetzt mache ich eine Substitution mit $ [mm] \;u=x^2 [/mm] $ also $ [mm] \;du=2x\;dx [/mm] $.
Nun folgt:
für die untere Grenze: $ [mm] \;x=0 \;\Rightarrow \;u=0^2=0 [/mm] $
für die obere Grenze: $ [mm] \;x=2 \;\Rightarrow \;u=2^2=4 [/mm] $
$ [mm] \integral_{0}^{4}{u\cdot{}sin(u)\cdot{}\red{x}\;\bruch{du}{2x}}=\integral_{0}^{4}{u\cdot{}sin(u)\;\bruch{du}{2}}=\bruch{1}{2}\integral_{0}^{4}{u\cdot{}sin(u)\;du} [/mm] $
nun die partielle Integration anwenden mit $ [mm] \integral_{a}^{b}{u(x)\cdot{}v'(x)\;dx}=[u(x)\cdot{}v(x)]^b_a-\integral_{a}^{b}{u'(x)\cdot{}v(x)\;dx} [/mm] $
$ [mm] \bruch{1}{2}[u\cdot{}(-cos(x))]^4_0-\integral_{0}^{4}{1\cdot{}(-cos(u))\;du}=\bruch{1}{2}[u\cdot{}(-cos(x))+sin(x)]^4_0 [/mm] $
Einsetzen mit $ [mm] [F(x)]^b_a=F(b)-F(a) [/mm] $ und fertig:
[mm] \bruch{1}{2}[\red{4}\cdot{}(-cos(\red{4}))+sin(\red{4}))]-[\red{0}]=0,9288859941... [/mm]
Danke
LG Lzaman
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:44 Di 27.07.2010 | | Autor: | MontBlanc |
Hallo,
alles richtig.
Gute Nacht !
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