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| Aufgabe | Bestimmen Sie ein reelles Fundamentalsystem und die reelle allgemeine Lösung für das Differentialgleichungssystem:
u'=u+w-v
v'=u+v-w
w'=2u-v |
Guten Morgen,
ich hab schon einige Artikel über solche Aufgabenstellungen gelesen, wollte aber noch mal genauer nachfragen.
Versteh ich das richtig, dass man
u'=u+w-v
v'=u+v-w
w'=2u-v
als Matrix [mm] A=\pmat{u & w & -v \\ u & v & -w \\ 2u & -v & 0} [/mm] schreiben kann?
Frag mich gerade selber ob es stimmt, aber wenn es so wäre, dann müsste ich doch die Eigenwerte bestimmen, danach die Eigenvektoren, richtig?
Gruß Leipziger
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:51 Sa 12.12.2009 | | Autor: | pelzig |
> Versteh ich das richtig, dass man
> u'=u+w-v
> v'=u+v-w
> w'=2u-v
> als Matrix [mm]A=\pmat{u & w & -v \\ u & v & -w \\ 2u & -v & 0}[/mm]
> schreiben kann?
Nein, was du willst ist das System umzuschreiben in die Form [mm] $$\frac{d}{dt}\vektor{u\\v\\w}=\pmat{1&-1&1\\1&1&-1\\2&-1&0}\vektor{u\\v\\w}$$ [/mm] und diese Matrix ist deine Matrix A.
> Frag mich gerade selber ob es stimmt, aber wenn es so
> wäre, dann müsste ich doch die Eigenwerte bestimmen,
> danach die Eigenvektoren, richtig?
Wenn du Glück hast ist A diagonalisierbar durch eine Basis aus Eigenvektoren [mm] $v_1,v_2,v_3$ [/mm] mit zugehörigen Eigenwerten [mm] $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$. [/mm] Dann hast du ein Fundamentalsystem gegeben durch [mm] $v_1e^{\lambda_1t},v_2e^{\lambda_2t},v_3e^{\lambda_3t}$.
[/mm]
Gruß, Robert
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Hallo,
also ich hab die Eigenwerte berechnet und erhalten:
[mm] \lambda_1=1, \lambda_2=-1, \lambda=2 [/mm] .
Diese sollten auch stimmen.
Danach hab ich wie geraten die Eigenvektoren berechnet und bin somit auf
[mm] v_1= \vektor{1 \\ 1 \\ 1}, v_2=\vektor{-1 \\ 3 \\ 5}, v_3=\vektor{1 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
gekommen. Da die nun unabhängig sind, könnte ich doch mein Fundamentalsystem aufstellen mit
[mm] y_1(x)=\vektor{1 \\ 1 \\ 1}e^{x},y_2(x)=\vektor{-1 \\ 3 \\ 5}e^{-x},y_3(x)=\vektor{1 \\ 0 \\ 1}e^{2x}
[/mm]
Stimmt das denn soweit?
Gruß Leipziger
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Hallo Leipziger,
> Hallo,
>
> also ich hab die Eigenwerte berechnet und erhalten:
> [mm]\lambda_1=1, \lambda_2=-1, \lambda=2[/mm] .
> Diese sollten auch stimmen.
> Danach hab ich wie geraten die Eigenvektoren berechnet und
> bin somit auf
>
> [mm]v_1= \vektor{1 \\ 1 \\ 1}, v_2=\vektor{-1 \\ 3 \\ 5}, v_3=\vektor{1 \\ 0 \\ 1}[/mm]
>
> gekommen. Da die nun unabhängig sind, könnte ich doch
> mein Fundamentalsystem aufstellen mit
>
> [mm]y_1(x)=\vektor{1 \\ 1 \\ 1}e^{x},y_2(x)=\vektor{-1 \\ 3 \\ 5}e^{-x},y_3(x)=\vektor{1 \\ 0 \\ 1}e^{2x}[/mm]
>
> Stimmt das denn soweit?
Ja, das stimmt soweit. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Gruß Leipziger
Gruss
MathePower
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Das ist schonmal gut, danke Mathepower, aber wie muss ich nun die Lösungen bestimmen?
Gruß Leipziger
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Hallo Leipziger,
> Das ist schonmal gut, danke Mathepower, aber wie muss ich
> nun die Lösungen bestimmen?
Die Gesamtlösung ist dann eine beliebige Linearkombination der
erhalten Lösungen [mm]y_{1}, \ y_{2}, \ y_{3}[/mm].
>
> Gruß Leipziger
Gruss
MathePower
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Folglich also
y(x) = [mm] C_1*y_1(x)+C_2*y_2(x)+C_3*y_3(x) [/mm] ?
Gruß
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Hallo Leipziger,
> Folglich also
>
> y(x) = [mm]C_1*y_1(x)+C_2*y_2(x)+C_3*y_3(x)[/mm] ?
Stimmt.
>
> Gruß
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:44 Fr 08.01.2010 | | Autor: | cmueller |
Hallo zusammen,
ich habe ein ähnliches System gegeben:
[mm] $y'(t)=\pmat{ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 1 } [/mm] y(t) $
habe das genauso gemacht wie von euch geraten und komme auf den dreifachen Eigenwert [mm] \lambda=1
[/mm]
und auf den Eigenvektor [mm] \vec{c}=q*\vektor{0 \\ 1 \\ 1}, [/mm] q [mm] \in \IR
[/mm]
ich habe in einem Buch gelesen, dass dann schon gilt:
[mm] $y_{1}(t)= q*\vektor{0 \\ 1 \\ 1}e^{t}$ [/mm] ist Fundamentalsystem.
ist das richtig? und wieso kann ich das einfach sagen?
Vielen Dank für jede Hilfe
Cmueller
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:20 Fr 08.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo zusammen,
> ich habe ein ähnliches System gegeben:
>
> [mm]y'(t)=\pmat{ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 1 } y(t)[/mm]
>
> habe das genauso gemacht wie von euch geraten und komme auf
> den dreifachen Eigenwert [mm]\lambda=1[/mm]
> und auf den Eigenvektor [mm]\vec{c}=q*\vektor{0 \\ 1 \\ 1},[/mm] q
> [mm]\in \IR[/mm]
> ich habe in einem Buch gelesen, dass dann schon
> gilt:
> [mm]y_{1}(t)= q*\vektor{0 \\ 1 \\ 1}e^{t}[/mm] ist
> Fundamentalsystem.
> ist das richtig?
Nein , das ist Unfug ! Ein Fundamentalsystem besteht aus 3 linear unabhängigen Lösungen
Wie Du bei mehrfachen Eigenwerten verfährst, kannst Du hier
http://de.wikipedia.org/wiki/Fundamentalsystem_(Mathematik)#Homogenes_lineares_Differentialgleichungssystem_erster_Ordnung
nachlesen
FRED
> und wieso kann ich das einfach sagen?
>
> Vielen Dank für jede Hilfe
>
> Cmueller
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:27 Fr 08.01.2010 | | Autor: | cmueller |
Hallo,
also ich hab jetzt gemerkt bei nochmaligem nachrechnen, dass ich mich bei den eigenwerten auch ein bisschenverrechnet habe und habe jetzt eine doppelten eigenwert 1 und einen einfachen -1
so damit bin ich ja immerhin shcon bei zwei eigenvektoren und ich brauche 3 stück (linear unabhängig is klar) damit ich ein fundamentalsystem hab...
aber der link hat mir leider nich sonderlich weiter geholfen:/
ich habe meine vorlesung durchforstet, da steht, dass der eigenwert ja auch komplex sein kann und ich dann das komplement als zweiten eigenvektor nehmen kann. das finde ich sehr schön dann wäre ich fertig, aber ich verstehs leider nicht...
ich habe bisher als EV:
[mm] \vec{c_{1}}=\vektor{0 \\ 1 \\ 1 } [/mm] für [mm] \lambda_{1}=1 [/mm] und
[mm] \vec{c_{2}}=\vektor{1 \\ 1 \\ -1 } [/mm] für [mm] \lambda_{2}=-1
[/mm]
und [mm] \lambda_{1}=1 [/mm] ist doppelter eigenwert...
kann mir bitte jemand einen tipp geben was ich jez tun soll?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:31 Fr 08.01.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
in dem link steht fast am Ende, doch genau ein Beispiel wie deines, ein doppelter, ein einfacher EW.
Gruss leduart
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:39 Fr 08.01.2010 | | Autor: | cmueller |
alles klar ich hab das versucht mit
Kern [mm] (A-1E)^{2} [/mm] und habe raus:
[mm] \vec{c_{3}}=\vektor{1 \\ 1 \\ 2}
[/mm]
wäre das richtig? linear unabhängig sind die drei ja?
und dann hab ich das fundamentalsystem:
[mm] y_{1}(t)= e^{t} \vektor{0 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
[mm] y_{2}(t)= e^{-t} \vektor{1 \\ 1 \\ -1}
[/mm]
[mm] y_{3}(t)= e^{t} \vektor{1 \\ 1 \\ 2}
[/mm]
?
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Hallo cmueller,
> alles klar ich hab das versucht mit
> Kern [mm](A-1E)^{2}[/mm] und habe raus:
> [mm]\vec{c_{3}}=\vektor{1 \\ 1 \\ 2}[/mm]
> wäre das richtig?
> linear unabhängig sind die drei ja?
> und dann hab ich das fundamentalsystem:
> [mm]y_{1}(t)= e^{t} \vektor{0 \\ 1 \\ 1}[/mm]
Ok, die Lösung stimmt.
> [mm]y_{2}(t)= e^{-t} \vektor{1 \\ 1 \\ -1}[/mm]
>
> [mm]y_{3}(t)= e^{t} \vektor{1 \\ 1 \\ 2}[/mm]
> ?
Nach meiner Rechnung gibt es 3 verschiedene Eigenwerte.
-1 ist nicht darunter.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:20 Sa 09.01.2010 | | Autor: | cmueller |
>
>
> Nach meiner Rechnung gibt es 3 verschiedene Eigenwerte.
>
> -1 ist nicht darunter.
>
>
> Gruss
> MathePower
oh mann, gut dass du das gesagt hast, ich habe bei meiner rechnung ein vorzeichen in der matrix aus versehen weggelassen. Vielen Dank dafür^^
Habe jetzt nochma mit der RICHTIGEN Matrix gerechnet und ichbdenke auch dass das soweit stimmt, aber kannst du mir vllt sagen, ob das richtig ist?
Habe als reelles Fundamentalsytem zum homogenen System vom Anfang raus:
[mm] $y_{1}(t)= e^{t} \vektor{0 \\ 1 \\ 1}$ [/mm] (das hatten wir ja schon)
[mm] $z_{2}(t)=\vektor{1 \\ 1 \\ 0}cos [/mm] t - [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 1} [/mm] sin t$
[mm] $z_{2}*(t)=\vektor{1 \\ 1 \\ 0}sin [/mm] t + [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 1} [/mm] cos t$
habe also den komplexen eigenvektor [mm] y_{2}(t)=e^{it}\vektor{1i+1 \\ 1 \\ i} [/mm] aufgespalten in real- und imaginärteil und das ergibt ja beides eine reelle lösung (oder?)
lg cmueller
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Hallo cmueller,
> >
> >
> > Nach meiner Rechnung gibt es 3 verschiedene Eigenwerte.
> >
> > -1 ist nicht darunter.
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
>
> oh mann, gut dass du das gesagt hast, ich habe bei meiner
> rechnung ein vorzeichen in der matrix aus versehen
> weggelassen. Vielen Dank dafür^^
>
> Habe jetzt nochma mit der RICHTIGEN Matrix gerechnet und
> ichbdenke auch dass das soweit stimmt, aber kannst du mir
> vllt sagen, ob das richtig ist?
> Habe als reelles Fundamentalsytem zum homogenen System vom
> Anfang raus:
>
> [mm]y_{1}(t)= e^{t} \vektor{0 \\ 1 \\ 1}[/mm] (das hatten wir ja
> schon)
> [mm]z_{2}(t)=\vektor{1 \\ 1 \\ 0}cos t - \vektor{1 \\ 0 \\ 1} sin t[/mm]
>
> [mm]z_{2}*(t)=\vektor{1 \\ 1 \\ 0}sin t + \vektor{1 \\ 0 \\ 1} cos t[/mm]
Hier muss es doch heißen:
[mm]z_{3}(t)=\vektor{1 \\ 1 \\ 0}sin t + \vektor{1 \\ 0 \\ 1} cos t[/mm]
Ansonsten ist das richtig.
>
> habe also den komplexen eigenvektor
> [mm]y_{2}(t)=e^{it}\vektor{1i+1 \\ 1 \\ i}[/mm] aufgespalten in
> real- und imaginärteil und das ergibt ja beides eine
> reelle lösung (oder?)
Ja.
>
> lg cmueller
Gruss
MathePower
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