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hallo an alle ...
wäre dankbar wenn Ihr weiterhelfen könnts:
also ich habe eine Folge xn = <1+1/n>^n , und ich soll schauen ob sie beschränkt ist (bzw. die Schranke ausrechnen)
der Lehrer hat dies mit der Binomialverteilung zerlegt und dann ausgerechnet.
Meine Frage ist, wann verwende ich diese Binomialverteilung bei Folgen, und was hat das mit dem zu tun ?!?
mfg
XerXes
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:13 Do 02.06.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Xerxes!
Was dein Lehrer angwandt hat, ist nicht die Binomialverteilung sondern der binomische Satz: [mm] $(a+b)^n=\summe_{k=0}^{n} \vektor{n\\ k} a^{k} b^{n-k}$. [/mm] Durch diese Umformungen gelangst du zu einer Summendarstellung des jeweiligen Folgengliedes, was eine präzisere Abschätzung möglich macht, nämlich eine Abschätzung der einzelnen Glieder nach oben [denn es ist ja genau der Sinn der Aufgabe, die Folgenglieder nach oben durch einen konstanten Wert abzuschätzen, nömlich die obere Schranke]. Wie auch im Heuser gebe ich dir hier einfach mal ein paar Tips, wie du zeigen kannst, dass $3$ eine obere Schranke der dir gegebenen Folge ist:
Schritt 1) Ausmultiplizieren des Binoms mit Hilfe des binomischen Satzes - das haben wir ja bereits gemacht, es führt zu [mm] $\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=\summe_{k=0}^{n} \vektor{n\\ k}\frac{1}{n^k}$.
[/mm]
Schritt 2) Beweise und verwende die Abschätzung [mm] $\vektor{n\\ k}\frac{1}{n^k}\leq \frac{1}{k!}$. [/mm]
Schritt 3) Wende die geometrische Summenformel [mm] $\summe_{k=0}^{n} a^n=\frac{a^n-1}{a-1}$ [/mm] an.
So, versuche es bitte einmal, wenn du Probleme hast, dann werden wir dir noch ein wenig mehr unter die Arme greifen.
Liebe Grüße und Viel Erfolg,
Hanno
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Hi Hanno ...
Ich danke dir für deine große Hilfe !
zu Punkt 2, weißt du wieso man diese Abschätzung verwendet, bzw. woher diese Abschätzung kommt ?
mfg
XerXes
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Hallo Xerxes,
zunächst einmal ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Verwende doch einfach die Defintion des Binomialkoeffizienten:
[mm] $\vektor{n \\ k} [/mm] \ := \ [mm] \bruch{n!}{k!*(n-k)!} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{n*(n-1)*(n-2)*...*(n-k+1)}{1*2*3*...*(k-1)*k}$
[/mm]
Damit wird doch:
[mm] $\vektor{n \\ k}*\bruch{1}{n^k} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{n!}{k!*(n-k)!}*\bruch{1}{n^k} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{k!}*\underbrace{\bruch{n!}{(n-k)!}}_{\le \ n^k}*\bruch{1}{n^k} [/mm] \ \ [mm] \red{\le} [/mm] \ \ [mm] \bruch{1}{k!}*n^k [/mm] * [mm] \bruch{1}{n^k} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{k!}*1 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{k!}$
[/mm]
Nun klarer die Sache? ![[lichtaufgegangen]](/images/smileys/lichtaufgegangen.gif "[lichtaufgegangen]") ?
Gruß vom
Roadrunner
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