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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:40 Sa 17.06.2006 | | Autor: | Gwin |
| Aufgabe | Man berechne die Bogenlänge der folgenden Kurven:
[mm] x=a*sin(t)^{3}, y=a*cos(t)^{3} [/mm] für 0 [mm] \le [/mm] t [mm] \le [/mm] 2 [mm] \pi [/mm] |
hallo...
ich mal wieder...
ich rechne mir schon den ganzen tag die finger wund, komme bei dieser aufgabe beim besten willen nicht auf das richtige ergbniss...
hier mein lösungsweg:
allgemeine lösung: s= [mm] \integral_{a}^{b}{\wurzel{x'^{2}+y'^{2}}} [/mm]
[mm] x=a*sin(t)^{3}, x'=3a*sin(t)^{2}*cos(t), x'^{2}=9a^{2}*sin(t)^{4}*cos^{2}
[/mm]
[mm] y=a*cos(t)^{3}, y'=-3a*cos(t)^{2}*sin(t), y'^{2}=9a^{2}*cos(t)^{4}*sin(t)^{2}
[/mm]
in formel eingesetzt:
s= [mm] \integral_{0}^{2\pi}{\wurzel{9a^{2}*sin(t)^{4}*cos(t)^{2}+9a^{2}*cos(t)^{4}*sin(t)^{2}
} dt} [/mm]
[mm] =\integral_{0}^{2\pi}{\wurzel{9a^{2}*sin(t)^{2}*cos(t)^{2}*(sin(t)^{2}+cos(t)^{2})} dt}
[/mm]
mit [mm] sin(t)^{2}+cos(t)^{2} [/mm] = 1
[mm] =\integral_{0}^{2\pi}{\wurzel{9a^{2}*sin(t)^{2}*cos(t)^{2}} dt}
[/mm]
[mm] =\integral_{0}^{2\pi}{3a*sin(t)*cos(t) dt}
[/mm]
Subst.:
x=sin(t), [mm] \bruch{dx}{dt}=cos(t), [/mm] dt= [mm] \bruch{1}{cos(t)}dx
[/mm]
s=3a* [mm] \integral_{0}^{2\pi}{x*cos(t)* \bruch{dx}{cos(t)}}
[/mm]
=3a* [mm] \integral_{0}^{2\pi}{x dx}
[/mm]
=3a( [mm] \bruch{1}{2}*x^{2}) [/mm] von 0 bis [mm] 2\pi
[/mm]
Resubst.:
=3a( [mm] \bruch{1}{2}*sin(t)^{2}) [/mm] von 0 bis [mm] 2\pi
[/mm]
=0
es sollte aber 6a rauskommen...
egal wie oft ich diese aufgabe durchrechne komme ich immer auf das gleiche ergebniss...
könnte mit hierbei jemand bitte helfen falls er zeit und lust hat...
mfg Gwin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:02 So 18.06.2006 | | Autor: | AXXEL |
Hi!
ich kann deine Umformung von x' auf [mm] {x}^{'2} [/mm] nicht so ganz verstehen ....
Wieso wird aus
[mm] x'=3a*sin(t)^{2}*cos(t) x^{'2}=9a^{2}+sin(t)^{4}*cos(t)^{2} [/mm] und nicht [mm] x^{2}=9a^{2}*sin(t)^{4}*cos(t)^{2} [/mm] ????
Gruß
AXXEL
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:22 So 18.06.2006 | | Autor: | Gwin |
gmpf...
verstehe ich auch nicht :)...
habe * gedacht und + geschrieben...
sollte natürlich [mm] x^{2}=9a^{2}\cdot{}sin(t)^{4}\cdot{}cos(t)^{2} [/mm] heißen...
mfg Gwin
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[mm]\sqrt{9a^2 \sin^2{t} \cos^2{t}} = 3a \sin{t} \cos{t}[/mm]
Das ist falsch.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:53 So 18.06.2006 | | Autor: | AXXEL |
Hi !
Warum eigentlich?
Wieso ist das nicht richtig?
AXXEL
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Setze z.B. [mm]t = \frac{3}{4} \, \pi[/mm] in beide Seiten der Gleichung ein. Dann siehst du, warum das falsch ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:45 So 18.06.2006 | | Autor: | AXXEL |
Hi!
Ja das sehe ich, aber eigentlich müsste doch gelten : [mm] \wurzel{a^{2}*b^{2}}=\wurzel{(a*b)^{2}}=a*b [/mm] oder ?
Deswegen verstehe ich das nicht !
Gruß
AXXEL
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:47 So 18.06.2006 | | Autor: | Gwin |
hallo zusammen...
an dieser stelle versagten meine mathekenntnisse aber auch komplett...
man könnte es doch auch umschreiben in:
[mm] \wurzel{9}* \wurzel{a^{2}}* \wurzel{\sin(t)^{2}}* \wurzel{cos(t)^{2}}
[/mm]
oder müste es dann korekter weise
[mm] \pm\wurzel{9}* \pm\wurzel{a^{2}}* \pm\wurzel{\sin(t)^{2}}* \pm\wurzel{cos(t)^{2}}=3a\*\sin(t)\*\cos(t)
[/mm]
heißen?
und vorallem wie kann ich dann diese aufgabe korrekt lösen?
muß ich ab dieser stelle irgendwelche fallunzterscheidungen machen?
mfg Gwin
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Eigentlich wollte ich es ja nicht verraten. Aber sei's drum ...
Die Gleichung [mm]\sqrt{x^2} = x[/mm] ist nur für [mm]x \geq 0[/mm] richtig. Diese Voraussetzung ist bei 95 % aller mathematischen Rechenaufgaben zwar erfüllt - einfach, weil der Aufgabensteller den Aufgabenlöser vor größerem Unglück bewahren will. Aber eben nicht immer. Und hier haben wir einen der 5 % anderen Fälle. Man muß diesem Aufgabensteller dankbar sein. Die Aufgabe zwingt zum Denken statt zum bloßen Rechnen.
Immer richtig für reelle Zahlen [mm]x[/mm] ist dagegen:
[mm]\sqrt{x^2} = |x|[/mm]
Die Länge [mm]b[/mm] der Astroide wird also durch das Integral
[mm]b = 3a \int_0^{2 \pi}~\left| \sin{t} \cos{t} \right|~\mathrm{d}t[/mm]
berechnet. Die Betragsstriche um [mm]a[/mm] darf man übrigens nur deshalb weglassen, weil [mm]a>0[/mm] gilt, was ich einmal unterstellen will, auch wenn Gwin davon nichts gesagt hat (vermutlich ein Fall von "Unterschlagung").
Jetzt müßte man eine Fallunterscheidung machen und das Integrationsintervall in Teilintervalle zerlegen, über denen der Term innerhalb der Betragsstriche entweder nur [mm]\geq 0[/mm] oder nur [mm]\leq 0[/mm] ist. Im ersten Fall gilt [mm]\left| \sin{t} \cos{t} \right| = \sin{t} \cos{t}[/mm], im zweiten [mm]\left| \sin{t} \cos{t} \right| = - \sin{t} \cos{t}[/mm].
Ich würde hier aber zur Vereinfachung das folgende Vorgehen empfehlen:
Man weise nach, daß die Funktion [mm]g(t) = \left| \sin{t} \cos{t} \right|, \ t \in \mathbb{R}[/mm] die Periode [mm]\frac{\pi}{2}[/mm] besitzt, daß also
[mm]g \left( t + \frac{\pi}{2} \right) = g(t)[/mm]
gilt (das sind die elementaren Verschiebungsformeln für Sinus und Cosinus). Dann kann man sich bei der Integration auf das Intervall [mm]\left[ \, 0 \, , \, \frac{\pi}{2} \, \right][/mm] beschränken (dort kann man die Betragsstriche einfach weglassen) und muß den Wert noch vervierfachen:
[mm]b = 12a \int_0^{\frac{\pi}{2}}~\sin{t} \cos{t}~\mathrm{d}t[/mm]
Den Nachweis der Periodizität von [mm]g[/mm] kann man sich ersparen, wenn man sich irgendwie anders die Symmetrie der ![[]](/images/popup.gif) Astroide klarmacht. Dann leuchtet das Vorgehen mit der Vervierfachung unmittelbar ein.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:33 So 18.06.2006 | | Autor: | AXXEL |
AHHH !
Danke für die Antwort! (und fürs verraten  )
Gruß
AXXEL
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:27 So 18.06.2006 | | Autor: | Gwin |
aha... da liegt das problem :)... und siehe da jetzt klappt es auch
vielen tausend dank für die antwort...
schönen abend noch...
mfg Gwin
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