berandeteUntermannigfaltigkeit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo zusammen,
habe noch ein paar Schwierigkeiten bzgl. Untermannigfaltigkeiten:
Wir haben eine (berandete) Untermannigfaltigkeit wie folgt definiert:
Wir verstehen darunter eine Teilmenge M [mm] \subset [/mm] V, wobei es zu p [mm] \in [/mm] M
1. eine offene Teilmenge I [mm] \subset H^k [/mm] gibt
2. eine offene Teilmenge U [mm] \subset [/mm] M mit p [mm] \in [/mm] U gibt
3. eine [mm] C^\infty [/mm] -Abbildung [mm] \alpha: [/mm] I [mm] \to [/mm] U gibt, sodass gilt:
a) [mm] \alpha: [/mm] I [mm] \to [/mm] U ist bijektiv und [mm] D(\alpha)(x): \IR^k \to [/mm] V ist injektiv für x [mm] \in [/mm] I
b) [mm] \alpha^{-1} [/mm] : U [mm] \to [/mm] I ist stetig.
[mm] H^k [/mm] bezeichne dabei die Menge [mm] \{ (x_1,...,x_k) \in \IR^k | x_k \ge 0 \}
[/mm]
[mm] \partial H^k [/mm] := [mm] \{ (x_1,...,x_k) \in H^k | x_k = 0 \}.
[/mm]
Nun heißt p ein Randpunkt p [mm] \in [/mm] M , wenn es eine Karte (I, U, [mm] \alpha) [/mm] um p gibt mit [mm] \alpha^{-1}(p) \in \partial H^k.
[/mm]
OK, nun hab ich hier schon als Antwort bekommen, dass eine offene Teilmenge hier als offen bzgl der Relativtopologie zu verstehen ist.
Wenn wir jetzt die Menge S = [mm] \{ (x,y) \in \IR^2 | x^2+y^2=1 \} [/mm] betrachten, ist dann S eine berandete Mannigfaltigkeit? Dann gäbe es ja eine Karte [mm] \alpha [/mm] : [0; [mm] \pi/2[ \to [/mm] S mit t [mm] \mapsto (\cos(t), \sin(t)), [/mm] die gerade die oben genannte Eigenschaften erfüllt. Dann wäre also der Punkt (1, 0) ein Randpunkt? Wäre dann jeder Punkt ein Randpunkt, weil man ja die Abbildung (bzw. Karte) transformieren kann??
Danke schonmal im Voraus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Mo 27.08.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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