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beliebige Matrix Z und S: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:21 Mo 22.06.2015
Autor: rsprsp

Aufgabe
Gegeben sei die m × n-Matrix:

A = [mm] \pmat{ a_{1,1} & ... & a_{1,m} \\ ... & ... & ... \\ a_{n,1} & ... & a_{n,m}} [/mm]

mit [mm] a_{i,j} [/mm] = i + j für alle i ∈ {1, . . . , n}, j ∈ {1, . . . , m}. Bestimmen Sie den Zeilen- und den Spaltenrang der Matrix A für beliebige n, m > 0. Geben Sie dabei Ihren Rechenweg an.

Bezeichne [mm] z_{i} [/mm] die i-te Zeile der Matrix A

Dann ersetzte [mm] z_{i} [/mm] durch
(z′ [mm] )_{i}=\bruch{a_{i1}z_{1}−a_{11}z_{i}}{i-1} [/mm]

Es gilt (z′ [mm] )_{i}=(0 [/mm] 1 2 ... n−1) für alle i≥2
Damit sind alle Zeilen (z′ [mm] )_{i} [/mm] für i≥2 linear abhängig und damit gilt Rang(A)=2

Genauso gilt es für den Spaltenrang

(s′ [mm] )_{i}=\bruch{a_{i1}s_{1}−a_{11}s_{i}}{i-1} [/mm]

d.h. i≥2 und Rang(A)=2


Ist der Beweis richtig ?

        
Bezug
beliebige Matrix Z und S: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 05:27 Di 23.06.2015
Autor: fred97


> Gegeben sei die m × n-Matrix:
>  
> A = [mm]\pmat{ a_{1,1} & ... & a_{1,m} \\ ... & ... & ... \\ a_{n,1} & ... & a_{n,m}}[/mm]
>
> mit [mm]a_{i,j}[/mm] = i + j für alle i ∈ {1, . . . , n}, j ∈
> {1, . . . , m}. Bestimmen Sie den Zeilen- und den
> Spaltenrang der Matrix A für beliebige n, m > 0. Geben Sie
> dabei Ihren Rechenweg an.
>  Bezeichne [mm]z_{i}[/mm] die i-te Zeile der Matrix A
>
> Dann ersetzte [mm]z_{i}[/mm] durch
>  (z′ [mm])_{i}=\bruch{a_{i1}z_{1}−a_{11}z_{i}}{i-1}[/mm]

Im Quelltext sehe ich, dass da steht

(z′ [mm])_{i}=\bruch{a_{i1}z_{1}-a_{11}z_{i}}{i-1}[/mm]



>  
> Es gilt (z′ [mm])_{i}=(0[/mm] 1 2 ... n−1) für alle i≥2
> Damit sind alle Zeilen (z′ [mm])_{i}[/mm] für i≥2 linear
> abhängig und damit gilt Rang(A)=2
>
> Genauso gilt es für den Spaltenrang
>  
> (s′ [mm])_{i}=\bruch{a_{i1}s_{1}−a_{11}s_{i}}{i-1}[/mm]

Auch hier:


(s′ [mm])_{i}=\bruch{a_{i1}s_{1}-a_{11}s_{i}}{i-1}[/mm]


>  
> d.h. i≥2 und Rang(A)=2
>  
>
> Ist der Beweis richtig ?

Ja, aber nur , wenn m [mm] \ge [/mm] 2 und n [mm] \ge [/mm] 2 ist. Die Fälle m=1 oder n=1 hast Du vergessen.

FRED


Bezug
                
Bezug
beliebige Matrix Z und S: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 07:41 Di 23.06.2015
Autor: rsprsp

Für m=n=1 ist der rg=1 oder nicht?

Bezug
                        
Bezug
beliebige Matrix Z und S: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:40 Di 23.06.2015
Autor: fred97


> Für m=n=1 ist der rg=1 oder nicht?

Ja

Und wie siehts aus im Falle m=1, n beliebig ? Und im Falle n=1, m beliebig ?

FRED


Bezug
                                
Bezug
beliebige Matrix Z und S: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:45 Di 23.06.2015
Autor: rsprsp

Genauso, also rg(A)=1

Bezug
                                        
Bezug
beliebige Matrix Z und S: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:39 Di 23.06.2015
Autor: fred97


> Genauso, also rg(A)=1

Ja

FRED


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