bei welchen x Konvergenz? < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:01 So 19.04.2015 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Sei die Menge A [mm] \subset \IR [/mm] so definiert
[mm] A=\{x\in\IR: \sum_{n=1}^\infty \frac{n^{x^2-8}}{n^2+1} \mbox{konvergiert}\}.
[/mm]
Berechnen sie supA- 2infA |
Hallo,
Ich habe herumprobiert:
x=1 [mm] \rightarrow \sum_{n=1}^\infty \frac{n^{-7}}{n^2+1}=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^9+n^7}
[/mm]
Eine konvergente Majorante wäre [mm] \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n^9}
[/mm]
x=2 analog konvergent
x=3 [mm] \rightarriw \sum_{n=1}^\infty \frac{n}{n^2+1}
[/mm]
[mm] \frac{n}{n^2+1} [/mm] > [mm] \frac{n}{n^2+n} [/mm] = [mm] \frac{1}{n+1}
[/mm]
Eine divergente Minorante ist die harmonische Reihe [mm] \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n}
[/mm]
Nun war die Vermutung: [mm] A=\{x \in \IR | |x| \le 2\}
[/mm]
[mm] \supseteq [/mm] ) klar da: [mm] \frac{n^{x^2-8}}{n^2+1}<\frac{n^{2^2-8}}{n^2+1}=\frac{1}{n^6+n^4}<\frac{1}{n^6}
[/mm]
[mm] \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^6} [/mm] konvergente Mayorante, also [mm] \sum_{n=1}^\infty \frac{n^{x^2-8}}{n^2+1} [/mm] konvergent für [mm] |x|\le [/mm] 2
Aber [mm] \subseteq [/mm] ist nicht klar, weil ja x [mm] \in \IR [/mm] verlangt ist. Ich kann nur für [mm] x\ge [/mm] 3 eine divergente Minorante finden, die harmonische Reihe aber was mache ich zwischen 2 und 3?
LG,
sissi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:29 So 19.04.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo Sissile,
> Sei die Menge A [mm]\subset \IR[/mm] so definiert
> [mm]A=\{x\in\IR: \sum_{n=1}^\infty \frac{n^{x^2-8}}{n^2+1} \mbox{konvergiert}\}.[/mm]
>
> Berechnen sie supA- 2infA
> Hallo,
> Ich habe herumprobiert:
> x=1 [mm]\rightarrow \sum_{n=1}^\infty \frac{n^{-7}}{n^2+1}=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^9+n^7}[/mm]
>
> Eine konvergente Majorante wäre [mm]\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n^9}[/mm]
>
> x=2 analog konvergent
> x=3 [mm]\rightarriw \sum_{n=1}^\infty \frac{n}{n^2+1}[/mm]
>
> [mm]\frac{n}{n^2+1}[/mm] > [mm]\frac{n}{n^2+n}[/mm] = [mm]\frac{1}{n+1}[/mm]
> Eine divergente Minorante ist die harmonische Reihe
> [mm]\sum_{n=2}^\infty \frac{1}{n}[/mm]
>
> Nun war die Vermutung: [mm]A=\{x \in \IR | |x| \le 2\}[/mm]
>
> [mm]\supseteq[/mm] ) klar da:
> [mm]\frac{n^{x^2-8}}{n^2+1}<\frac{n^{2^2-8}}{n^2+1}=\frac{1}{n^6+n^4}<\frac{1}{n^6}[/mm]
> [mm]\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^6}[/mm] konvergente Mayorante,
> also [mm]\sum_{n=1}^\infty \frac{n^{x^2-8}}{n^2+1}[/mm] konvergent
> für [mm]|x|\le[/mm] 2
> Aber [mm]\subseteq[/mm] ist nicht klar, weil ja x [mm]\in \IR[/mm] verlangt
> ist. Ich kann nur für [mm]x\ge[/mm] 3 eine divergente Minorante
> finden, die harmonische Reihe aber was mache ich zwischen 2
> und 3?
Deine Herangehensweise finde ich gut. Ich würde die Aufgabe wie folgt
anzugehen versuchen:
Im Heuser, Analysis I, findest Du den Satz 33.6, auf den ich schonmal hier
hier: https://vorhilfe.de/read?i=691146
verwiesen hatte.
Damit wird man sicher erkennen: Für [mm] $x^2-8 \ge [/mm] 1$ wird die obige Reihe divergieren,
für [mm] $x^2-8 [/mm] < 1$ wird sie konvergieren.
Somit solltest Du die Fälle $|x| [mm] \ge [/mm] 3$ und $|x| < [mm] 3\,$ [/mm] untersuchen!
P.S. Hast Du eine Ahnung, wieso ich direkt alles auf diese Fallunterscheidung
"reduzieren" konnte? Also warum das naheliegend ist? Bzw. allgemein:
Was wird bei der Konvergenzuntersuchung einer *solchen* Reihe (damit
meine ich, dass da bei der Reihe Summanden der Form [mm] $\frac{a_1*n^{\alpha_1}+\ldots}{b_1*n^{\beta_1}+\ldots}$ [/mm] stehen) wohl
*das Hauptaugenmerk* sein?
Tipp: [mm] $\frac{n^{x^2-8}}{n^2}$ [/mm] geht über in [mm] $\frac{1}{n^{2-(x^2-8)}}$, [/mm] und
[mm] $\sum \frac{1}{n^\alpha}$
[/mm]
ist (man benutze etwa das Majorantenkriterium zum Divergenznachweis
und den Cauchyschen Verdichtungssatz für Konvergenznachweis; oder
sogar nur den Cauchyschen Verdichtungssatz direkt für beides!) genau
dann konvergent für [mm] $\alpha \in \IR$, [/mm] wenn [mm] $\alpha [/mm] > [mm] 1\,.$
[/mm]
Also oben wird schonmal *die Konvergenz reguliert* durch
[mm] $2-(x^2-8) [/mm] > [mm] 1\,$ $\iff$ $x^2-8 [/mm] < [mm] 2-1=1\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 06:41 Mo 20.04.2015 | | Autor: | sissile |
> Deine Herangehensweise finde ich gut. Ich würde die Aufgabe wie folgt
> anzugehen versuchen:
> Im Heuser, Analysis I, findest Du den Satz 33.6, auf den ich schonmal hier
hier: https://vorhilfe.de/read?i=691146
> verwiesen hatte.
> Damit wird man sicher erkennen: Für $ [mm] x^2-8 \ge [/mm] 1 $ wird die obige Reihe > divergieren,
> für $ [mm] x^2-8 [/mm] < 1 $ wird sie konvergieren.
Sind $ [mm] \sum a_n [/mm] $ und $ [mm] \sum b_n [/mm] $ Reihen mit positiven Gliedern und gilt $ [mm] a_n/b_n \to \gamma [/mm] > 0 $, so haben die beiden Reihen das gleiche Grenzverhalten.
Ich verstehe nicht ganz wie du den Satz von Heuser hier im Bsp verwendest?
Was ist dein [mm] a_n, b_n [/mm] hier?
LG,
sissi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:23 Mo 20.04.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo Sissile,
> > Deine Herangehensweise finde ich gut. Ich würde die
> Aufgabe wie folgt
> > anzugehen versuchen:
> > Im Heuser, Analysis I, findest Du den Satz 33.6, auf den
> ich schonmal hier
>
> hier: https://vorhilfe.de/read?i=691146
>
> > verwiesen hatte.
>
> > Damit wird man sicher erkennen: Für [mm]x^2-8 \ge 1[/mm] wird die
> obige Reihe > divergieren,
> > für [mm]x^2-8 < 1[/mm] wird sie konvergieren.
>
> Sind [mm]\sum a_n[/mm] und [mm]\sum b_n[/mm] Reihen mit positiven Gliedern
> und gilt [mm]a_n/b_n \to \gamma > 0 [/mm], so haben die beiden
> Reihen das gleiche Grenzverhalten.
> Ich verstehe nicht ganz wie du den Satz von Heuser hier im
> Bsp verwendest?
> Was ist dein [mm]a_n, b_n[/mm] hier?
>
> LG,
> sissi
okay, ich mache es erst mal rein formal: Du hast
[mm] $\sum a_n$
[/mm]
mit [mm] $a_n=a_n(x)=\frac{n^{x^2-8}}{n^2+1}\,.$
[/mm]
Nun betrachten wir
[mm] $\sum b_n$
[/mm]
mit [mm] $b_n=b_n(\alpha)=\frac{1}{n^{\alpha}}\,.$
[/mm]
Damit gilt
[mm] $\frac{a_n}{b_n}=\frac{\frac{n^{x^2-8}}{n^2+1}}{\frac{1}{n^\alpha}}=\frac{n^{\alpha}*(n^{x^2-8})}{n^2+1}=\frac{n^{\alpha+(x^2-8)}}{n^2+1}\,.$
[/mm]
Dieses Ding soll bei $n [mm] \to \infty$ [/mm] gegen einen Wert $> [mm] 0\,$ [/mm] streben. Beachte dabei,
dass wir [mm] $\alpha$ [/mm] "im Griff haben", denn ich sagte ja, dass
[mm] $\sum b_n=\sum b_n(\alpha)$
[/mm]
genau dann konvergiert, wenn [mm] $\alpha [/mm] > [mm] 1\,.$
[/mm]
Überlege Dir meinetwegen alle Fälle durch: Was ist für
[mm] $\alpha+(x^2-8) [/mm] < [mm] 2\,$
[/mm]
hier los, was für
[mm] $\alpha+(x^2-8) [/mm] = [mm] 2\,$
[/mm]
und was für
[mm] $\alpha+(x^2-8) \ge 2\,.$
[/mm]
Des erwähnten Satzes Willen: Wir behandeln den Fall [mm] $\alpha+(x^2-8)=2\,.$
[/mm]
1. Fall: Es sei [mm] $\alpha \le 1\,.$ [/mm] Dann ist
[mm] $\sum a_n$
[/mm]
divergent, weil auch [mm] $\sum b_n$ [/mm] divergent ist.
Das bedeutet, dass für alle
[mm] $\alpha+(x^2-8)=2$ [/mm] und alle [mm] $\alpha \le [/mm] 1$
gilt, dass Deine Reihe divergiert. Also Divergenz haben wir für alle [mm] $x\,$ [/mm] mit
[mm] $x^2-8=2-\alpha$ [/mm] und [mm] $\alpha \le 1\,.$
[/mm]
Anders gesagt: Sie divergiert für alle reellen [mm] $x\,$ [/mm] mit
[mm] $x^2=10-\alpha$ [/mm] und [mm] $\alpha \le 1\,,$
[/mm]
nochmal anders gesagt: Sie divergiert für alle rellen [mm] $x\,$ [/mm] mit
[mm] $x^2 \ge 9\,,$
[/mm]
also für alle reellen [mm] $x\,$ [/mm] mit
$|x| [mm] \ge 3\,.$
[/mm]
Frage: Bekommst Du es nun hin, zu zeigen, durch den
2. Fall: Es sei [mm] $\alpha [/mm] > [mm] 1\,.$ [/mm] ...
zu zeigen: Die Reihe [mm] $\sum a_n$ [/mm] konvergiert für alle [mm] $x\,$ [/mm] mit $|x| < [mm] 3\,$?
[/mm]
So, und jetzt mach' ich mal eine etwas weniger formale Fassung, quasi eine
Kurzfassung dessen, was wir uns mithilfe des erwähnten Satzes oben eigentlich
klargemacht haben:
Wir haben die Reihe
[mm] $\sum_{n=1}^\infty \frac{n^{x^2-8}}{n^2+1}\,.$
[/mm]
Das Konvergenzverhalten dieser Reihe ist das gleiche, wie das der Reihe
[mm] $\sum_{n=1}^\infty \frac{n^{x^2-8}}{n^2}\,.$
[/mm]
(Das könntest Du Dir auch mit dem Satz 33.6 überlegen, berechne dazu
etwa
[mm] $\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n^{x^2-8}}{n^2+1}}{\frac{n^{x^2-8}}{n^2}}$
[/mm]
und begründe damit, warum der Satz anwendbar ist!)
Das Konvergenzverhalten der Reihe
[mm] $\sum_{n=1}^\infty \frac{n^{x^2-8}}{n^2}$
[/mm]
ist aber sehr leicht überschaubar, denn:
Es gilt
[mm] $\sum_{n=1}^\infty \frac{n^{x^2-8}}{n^2} \;\equiv\;\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{2-(x^2-8)}}\,,$
[/mm]
also divergiert diese Reihe genau denn, wenn [mm] $2-(x^2-8) \le 1\,.$
[/mm]
Überzeuge Dich davon, dass das mit dem Ergebnis des 1. Falls übereinstimmt.
(Und weil wir hier direkt mit der "gdw-Aussage" argumentiert haben, ergibt
sich so auch direkt alles, was oben im 2. Fall stehen wird!)
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:35 Mo 20.04.2015 | | Autor: | Marcel |
P.S. Damit Dich das Ergebnis vielleicht etwas mehr überzeugt:
Beispiel 1.: $x=2.99:$
Hier ist
[mm] $\sum a_n=\sum {n^{2.99^2-8}}/(n^2+1) \le \sum n^{2.99^2-8}/n^2=\sum n^{0.9401}/n^2=\sum 1/n^{1.0599}$,
[/mm]
also Deine Reihe konvergiert.
Beispiel 2.: $x=3.01:$
Hier ist
[mm] $\sum a_n=\sum {n^{3.01^2-8}}/(n^2+1) \ge\sum n^{3.01^2-8}/(\red{2}*n^2)=\frac{1}{2}*\sum n^{1.0601}/n^2=\frac{1}{2}\sum 1/n^{0.9399}$,
[/mm]
also Deine Reihe divergiert.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:36 Di 21.04.2015 | | Autor: | sissile |
Hallo,
Ich habe eine Frage dazu:
Kann man dann nicht gleich schreiben, dass ich [mm] \alpha [/mm] in [mm] b_n =\frac{1}{n^\alpha}, [/mm] so wähle, dass [mm] \alpha [/mm] + [mm] (x^2-8)=2 [/mm] oder meintest du das sowieso?
So ist [mm] \frac{a_n}{b_n}=\frac{n^{\alpha + (x^2-8)}}{n^2+1}= \frac{n^2}{n^2+1}=\frac{1}{1+\frac{1}{n^2}} \rightarrow [/mm] 1 (n [mm] \rightarrow \infty)
[/mm]
Fall 1) [mm] \alpha \le [/mm] 1
hast du schon behandelt.
Fall 2) [mm] \alpha [/mm] >1 [mm] (\rightarrow \sum b_n [/mm] konvergent [mm] \Rightarrow \sum a_n [/mm] konvergent)
[mm] x^2 =10-\alpha \wedge \alpha>1
[/mm]
[mm] \iff x^2 [/mm] < 9
[mm] \Rightarrow \sum a_n [/mm] konvergiert für alle x mit |x|<3
Aus dem ganzen folgt: [mm] A=\{x \in \IR | |x|<3\}
[/mm]
sup(A)-2 inf (A)=3-2(-3)=9
Danke,
sissi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:47 Di 21.04.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo Sissile,
> Hallo,
>
> Ich habe eine Frage dazu:
> Kann man dann nicht gleich schreiben, dass ich [mm]\alpha[/mm] in
> [mm]b_n =\frac{1}{n^\alpha},[/mm] so wähle, dass [mm]\alpha[/mm] + [mm](x^2-8)=2[/mm]
> oder meintest du das sowieso?
ja. Du musst halt beachten: Wenn Du den Beweis *präsentierst*, schreibst
Du das einfach so hin. Allerdings wird es dann etwas vom Himmel fallen,
wieso denn [mm] $\alpha$ [/mm] so gewählt werden soll, bis Du es (gleich) nachträglich
*motivierst*.
Ich habe das aber deswegen anders gemacht, damit Du siehst, dass man
das auch durch eine *kleine* Knobelei herausbekommt, warum diese und
nur diese Wahl von [mm] $\alpha$ [/mm] in Hinblick auf Anwendung des Satzes 33.6 sinnvoll
ist. *Interessierte* Zuhörer würden, wenn Du ihnen den Beweis vorstellst,
ohne dahingehend etwas zu sagen, durchaus sicher nachfragen!
> So ist [mm]\frac{a_n}{b_n}=\frac{n^{\alpha + (x^2-8)}}{n^2+1}= \frac{n^2}{n^2+1}=\frac{1}{1+\frac{1}{n^2}} \rightarrow[/mm]
> 1 (n [mm]\rightarrow \infty)[/mm]
Genau. Das ist eine der (wichtigstens) Voraussetzungen des Satzes 33.6;
also dass [mm] $a_n/b_n \to \lambda$ [/mm] mit [mm] $\lambda [/mm] > [mm] 0\,.$
[/mm]
> Fall 1) [mm]\alpha \le[/mm] 1
> hast du schon behandelt.
>
> Fall 2) [mm]\alpha[/mm] >1 [mm](\rightarrow \sum b_n[/mm] konvergent
> [mm]\Rightarrow \sum a_n[/mm] konvergent)
> [mm]x^2 =10-\alpha \wedge \alpha>1[/mm]
> [mm]\iff x^2[/mm] < 9
> [mm]\Rightarrow \sum a_n[/mm] konvergiert für alle x mit |x|<3
Genau!
> Aus dem ganzen folgt: [mm]A=\{x \in \IR | |x|<3\}[/mm]
Und das ist nichts anderes als das offene Intervall [mm] $(-3,\,3)\,.$
[/mm]
> sup(A)-2 inf (A)=3-2(-3)=9
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Danke,
> sissi
Gerne!
Gruß,
Marcel
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