begrenzte Folge unend. Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:33 Sa 31.03.2007 | | Autor: | Marian |
| Aufgabe | Es sei folgende unendliche Folge von unendlichen Reihen gegeben:
[mm] s_0:=\summe_{n=1}^{+\infty}\bruch{1}{n^2},
[/mm]
[mm] s_1:=\summe_{n=1}^{+\infty}\bruch{1}{n^2}\summe_{n_1=1}^{n}\bruch{1}{n_1^2},
[/mm]
[mm] s_2:=\summe_{n=1}^{+\infty}\bruch{1}{n^2}\summe_{n_1=1}^{n}\bruch{1}{n_1^2}\summe_{n_2=1}^{n_1}\bruch{1}{n_2^2},
[/mm]
...,
[mm] s_n:=\summe_{n=1}^{+\infty}\bruch{1}{n^2}\summe_{n_1=1}^{n}\bruch{1}{n_1^2}\cdots\summe_{n_{N-1}=1}^{n_{N-2}}\bruch{1}{n_{N-1}^2}\summe_{n_N=1}^{n_{N-1}}\bruch{1}{n_N^2},
[/mm]
...
Bewiesen soll es, dass die Folge begrenzt ist, d.h. dass es eine Zahl Z gibt, dass
[mm] s_N
gilt.
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Ist diese Folge wirklich begrenzt? Mir gelang es nur zu beweisen, dass alle [mm] s_N, [/mm] N=0, ..., [mm] N\in{\IN}_0, [/mm] konvergent sind, und dass die Folge [mm] \{s_N\}_{N=0}^{+\infty} [/mm] steigend ist. Leider ist es mich nicht klar, wie man bekommt, dass diese Folge begrenzt ist (von unten ist sie mit 0 begrenzt, von oben ???). Mein Tipp ist aber, dass folgendes gelten sollte:
[mm] s_N<2-\bruch{1}{3* 4^N}, N\in{\IN}_0.
[/mm]
Leider weiss ich nicht, wie es zu beweisen ist. Ich habe die Theorie der Differenz(un)gleichungen benutzt, das hat mir aber nur weniges gebracht (potentielle Abschätzung fur [mm] s_N [/mm] -- leider ohne Gewähr).
Für Ihre Tipps wäre ich Euch sehr dankbar.
Mit freundlichen Grüßen
Marian.
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:05 Sa 31.03.2007 | | Autor: | moudi |
Hallo Marian
Ich habe folgende Abschätzung für [mm] $s_N$ [/mm] gefunden:
[mm] $s_1=\sum_{n_0=1}^{\infty}\frac{1}{n_0^2}=1+\sum_{n_0=2}^{\infty}\frac{1}{n_0^2}= 1+(\frac{\pi^2}{6}-1)$
[/mm]
[mm]s_2=\sum_{n_0=1}^{\infty}\frac{1}{n_0^2}\sum_{n_1=1}^{n_0}\frac{1}{n_1^2}= 1+\sum_{n_0=2}^{\infty}\frac{1}{n_0^2}\sum_{n_1=1}^{n_0}\frac{1}{n_1^2}= 1+\sum_{n_0=2}^{\infty}\frac{1}{n_0^2}+\sum_{n_0=2}^{\infty}\frac{1}{n_0^2}\sum_{n_1=2}^{n_0}\frac{1}{n_1^2}[/mm]
[mm] <1+\sum_{n_0=2}^{\infty}\frac{1}{n_0^2}+ \sum_{n_0=2}^{\infty}\frac{1}{n_0^2}\sum_{n_1=2}^{\infty}\frac{1}{n_1^2}=
1+(\frac{\pi^2}{6}-1)+(\frac{\pi^2}{6}-1)^2[/mm]
[mm]s_3=\sum_{n_0=1}^{\infty}\frac{1}{n_0^2}\sum_{n_1=1}^{n_0}\frac{1}{n_1^2}\sum_{n_2=1}^{n_1}\frac{1}{n_2^2}= 1+\sum_{n_0=2}^{\infty}\frac{1}{n_0^2}\sum_{n_1=1}^{n_0}\frac{1}{n_1^2}\sum_{n_2=1}^{n_1}\frac{1}{n_2^2}= 1+\sum_{n_0=2}^{\infty}\frac{1}{n_0^2}+ \sum_{n_0=2}^{\infty}\frac{1}{n_0^2}\sum_{n_1=2}^{n_0}\frac{1}{n_1^2}\sum_{n_2=1}^{n_1}\frac{1}{n_2^2}[/mm]
[mm]1+\sum_{n_0=2}^{\infty}\frac{1}{n_0^2}+ \sum_{n_0=2}^{\infty}\frac{1}{n_0^2}\sum_{n_1=2}^{n_0}\frac{1}{n_1^2}+ \sum_{n_0=2}^{\infty}\frac{1}{n_0^2}\sum_{n_1=2}^{n_0}\frac{1}{n_1^2}\sum_{n_2=2}^{n_1}\frac{1}{n_2^2}[/mm]
[mm] <1+\sum_{n_0=2}^{\infty}\frac{1}{n_0^2}+ \sum_{n_0=2}^{\infty}\frac{1}{n_0^2}\sum_{n_1=2}^{\infty}\frac{1}{n_1^2}+ \sum_{n_0=2}^{\infty}\frac{1}{n_0^2}\sum_{n_1=2}^{\infty}\frac{1}{n_1^2}\sum_{n_2=2}^{\infty}\frac{1}{n_2^2}= 1+(\frac{\pi^2}{6}-1)+(\frac{\pi^2}{6}-1)^2+(\frac{\pi^2}{6}-1)^3[/mm]
etc.
[mm]s_N<1+(\frac{\pi^2}{6}-1)+(\frac{\pi^2}{6}-1)^2+\dots+(\frac{\pi^2}{6}-1)^N< \frac{1}{1-(\frac{\pi^2}{6}-1)}\approx 2.816[/mm]
mfG Moudi
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