bedingter Erwartungswert, Put < Finanzmathematik < Finanz+Versicherung < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo zusammen!
Ich habe eine Frage, die sowohl die Stochastik als auch die Finanzmathematik betrifft, deshalb habe ich diese Frage auch im Uni-Stochastik-Forum gestellt (und sonst nirgendwo).
Ich möchte eine Bermuda-Option (put) bewerten, die in 2 Zeitpunkten ausgeübt werden kann, in T/2 und in T, indem ich den Erwartungswert des Payoffs abzinse/diskontiere.
Falls man nur in T ausüben kann, ist die Erwartungswertberechnung ganz einfach, weil man keine bedingten Verteilungen hat. Auf diese Weise erhält man die Black-Scholes-Formel, die ich so auch hergeleitet habe.
[mm]P=Xe^{-rT}N(-d_2)-SN(-d_1).[/mm]
In meinem Fall mit 2 Ausübungszeitpunkten sieht der Erwartungswert (meiner Meinung nach, bin mir aber bei der Integration nicht wirklich sicher) so aus:
[mm] \integral_{-\infty}^{S^*_T} {(X-S_T)f(S_T|S_{T/2}>S^*_{T_2})dS_T}[/mm]
[mm] S_T [/mm] ist der Aktienkurs im Zeitpunkt T, [mm] S_{T/2} [/mm] entsprechend der Kurs in T/2. Die Ausdrücke mit * sind die kritischen Werte, bei denen Ausübung stattfindet. Da wir einen Put betrachten, üben wir aus, sobald der Aktienkurs UNTER dieser kritischen Grenze ist.
Mein Problem ist, dass ich nur die Wahrscheinlichkeitsdichte der Zufallsvariablen S habe (bzw. [mm] S_T[/mm] , jetzt aber eine zweidim. bedingte Wahrscheinlichkeit brauche.
Die Wahrscheinlichkeitsdichte von S lautet, da S lognormal-verteilt ist, d.h.
[mm] ln S \sim N(ln S_0+(r- \bruch{\sigma^2}{2})T;\sigma^2 T)[/mm] [mm] (bzw. T = (t_2-t_1)[/mm]
Mir fehlt die bedingte Dichte, bzw. eine Ahnung darüber, wie [mm] S_T [/mm] und [mm] S_T/2 [/mm] verteilt sind. In einem Stochastik-Buch habe ich Folgendes gefunden:
[mm] p_x (x|Y \le y)=\bruch{ \partial P_X(x|Y\le y)}{\partial x}=
\bruch{ \bruch{\partial P_{XY}(x,y)}{\partial x}}{P_Y(y)}[/mm]
Allerdings habe ich weder die verbundene Verteilung[mm] P_{XY}[/mm] noch brauche ich [mm] p_x (x|Y \le y) [/mm], ich brauche ja [mm] p_x (x|Y > y) [/mm].
Das Endergebnis sollte folgendermaßen aussehen:
[mm]P=Xw_2-Sw_1 [/mm]mit [mm]dt = T/2, 2dt=T [/mm]und[mm]
w_2= e^{-rdt} N_1(-d_2(S^*_{dt},dt))+e^{-r2dt}N_2(d_2(S^*_{dt},dt),-d_2(S^*_{2dt},2dt);-\rho_{12}) [/mm]und[mm]
w_1=N_1(-d_1(S^*_{dt},dt))+N_2(d_1(S^*_{dt},dt),-d_1(S^*_{2dt},2dt);-\rho_{12})[/mm]
Mir wäre schon geholfen, wenn mir jemand das genaue Integral verrät mit der bedingten Dichte oder mir sagt, wo ich etwas darüber lesen kann. Ich habe im Internet nirgends Informationen gefunden.
Über jede Hilfe bin ich dankbar,
Stefan
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:11 Di 15.03.2005 | | Autor: | Astrid |
Hallo Stefan,
da die Leute, die hier ins Stochastikforum schauen, auch ins Finanzmatheforum gucken, habe ich deinen Artikel im Stochastikforum gelöscht.
Viele Grüße
Astrid
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:46 Do 17.03.2005 | | Autor: | Astrid |
Hallo Stefan,
> Ich möchte eine Bermuda-Option (put) bewerten, die in 2
> Zeitpunkten ausgeübt werden kann, in T/2 und in T, indem
> ich den Erwartungswert des Payoffs abzinse/diskontiere.
>
> Falls man nur in T ausüben kann, ist die
> Erwartungswertberechnung ganz einfach, weil man keine
> bedingten Verteilungen hat. Auf diese Weise erhält man die
> Black-Scholes-Formel, die ich so auch hergeleitet habe.
> [mm]P=Xe^{-rT}N(-d_2)-SN(-d_1).[/mm]
>
> In meinem Fall mit 2 Ausübungszeitpunkten sieht der
> Erwartungswert (meiner Meinung nach, bin mir aber bei der
> Integration nicht wirklich sicher) so aus:
>
> [mm]\integral_{-\infty}^{S^*_T} {(X-S_T)f(S_T|S_{T/2}>S^*_{T_2})dS_T}[/mm]
>
> [mm]S_T[/mm] ist der Aktienkurs im Zeitpunkt T, [mm]S_{T/2}[/mm] entsprechend
> der Kurs in T/2. Die Ausdrücke mit * sind die kritischen
> Werte, bei denen Ausübung stattfindet. Da wir einen Put
> betrachten, üben wir aus, sobald der Aktienkurs UNTER
> dieser kritischen Grenze ist.
Bist du sicher, dass die Option ausgeübt wird, sobald der Wert unter der kritischen Grenze liegt? (Meinst du mit kritscher Grenze den Strike/Ausübungskurs? Oder was soll das genau sein?) Denn die Option besitzt dann ja noch immer einen "Zeitwert" und würde nicht in jedem Fall schon ausgeübt werden, oder? Aber vielleicht habe ich auch gerade einfach nicht genau genug hingeschaut.
>
> Mein Problem ist, dass ich nur die
> Wahrscheinlichkeitsdichte der Zufallsvariablen S habe (bzw.
> [mm]S_T[/mm] , jetzt aber eine zweidim. bedingte Wahrscheinlichkeit
> brauche.
>
> Die Wahrscheinlichkeitsdichte von S lautet, da S
> lognormal-verteilt ist, d.h.
> [mm]ln S \sim N(ln S_0+(r- \bruch{\sigma^2}{2})T;\sigma^2 T)[/mm]
> [mm](bzw. T = (t_2-t_1)[/mm]
>
> Mir fehlt die bedingte Dichte, bzw. eine Ahnung darüber,
> wie [mm]S_T[/mm] und [mm]S_T/2[/mm] verteilt sind. In einem Stochastik-Buch
> habe ich Folgendes gefunden:
>
> [mm]p_x (x|Y \le y)=\bruch{ \partial P_X(x|Y\le y)}{\partial x}=
\bruch{ \bruch{\partial P_{XY}(x,y)}{\partial x}}{P_Y(y)}[/mm]
>
>
> Allerdings habe ich weder die verbundene Verteilung[mm] P_{XY}[/mm]
> noch brauche ich [mm]p_x (x|Y \le y) [/mm], ich brauche ja [mm]p_x (x|Y > y) [/mm].
>
>
>
> Das Endergebnis sollte folgendermaßen aussehen:
> [mm]P=Xw_2-Sw_1 [/mm]mit [mm]dt = T/2, 2dt=T [/mm]und[mm]
w_2= e^{-rdt} N_1(-d_2(S^*_{dt},dt))+e^{-r2dt}N_2(d_2(S^*_{dt},dt),-d_2(S^*_{2dt},2dt);-\rho_{12}) [/mm]und[mm]
w_1=N_1(-d_1(S^*_{dt},dt))+N_2(d_1(S^*_{dt},dt),-d_1(S^*_{2dt},2dt);-\rho_{12})[/mm]
>
Wo hast du denn diese Formel her? Und woher bekommst du dann deine "kritischen Werte" [mm]S^\cdot{}[/mm]?
Viele Grüße
Astrid
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Hallo Astrid,
wir üben in jedem möglichen Zeitpunkt aus, wenn der Put vorher nicht ausgeübt wurde UND wenn der Payoff, der durch Ausübung entsteht mindestens so hoch ist wie der Wert, der bei nicht-Ausübung entsteht. Dh. so erhält man einen kritischen Aktienkurs S*, bei dem wir ausüben, d.. man erhält die Gleichung X-S*=P(S*, T).
Mir geht es weniger um diesen Teil, sondern um die Berechnung dieser Formel, die ich angegeben habe, und die man erhält, indem man den Erwartungswert über eine Bedingte Dichte bildet. Meine Frage ist eher stochastischer Art, deshalb hab ich die Frage auch im Stochastik-Forum gestellt.
Ich würde gerne wissen, wie man, wenn man die Dichte der Zufallsvariablen S(T) hat, auf die bedingte Dichte von S(T) gegeben S(T/2) kommt... was ja eine bivariate Normalverteilung ist (denke ich zumindest).
Das einzige, was mir fehlt, ist der genaue Ausdruck des Erwartungswertes, da ich für diese log-NOrmalverteilung keine bedingte Dichte habe.
Lieben Gruß,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:53 Di 29.03.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Stefan!
Leider sehe ich im Moment auch nicht die Lösung dieses Problems. Da die Fälligkeit der Frage zudem längst abgelaufen ist, fehlt mir auch die Motivation da länger drüber nachzudenken. Sollte die Frage noch von Relevanz sein, dann stelle bitte noch einmal eine Rückfrage und wähle eine geeignete Fälligkeit der Frage aus...
Viele Grüße
Stefan
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Hallo!!
Ich werde mich am besten mal intensiv mit bedingten Erwartungswerten, Dichten und besonders der Log-Normalverteilung beschäftigen.
Wenn ich mir keine bedingte Log-Normalverteilung herleiten kann, dann poste ich einfach eine neue Frage. Diese hier kann also gelöscht werden, da die Einträge dazu niemandem wirklich etwas bringen!
Danke trotzdem für die Bemühungen,
scheint wohl eine heikle Sache zu sein,
Stefan
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