bedingte W'keiten anwendung < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:18 Mi 10.06.2015 | | Autor: | nkln |
| Aufgabe | Zur Ausrüstung von Hochschulinstituten mit neuen Computern wurden insgesamt vier Firmen beauftragt: 30 [mm] \% [/mm] der gelieferten Rechner stammen von Firma A, jeweils 10 [mm] \% [/mm] von den Firmen B und C und die restlichen von Firma D
Bei früheren Bestellungen hat sich gezeigt, dass von den Firmen A und B jeweils 5 %, von Firma C 2 % und von Firma D 4 % der gelieferten Rechner nicht funktionstüchtig waren.
Aus der letzten Lieferung wird ein Computer zufällig ausgewählt und überprüft.
(a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der überprüfte Rechner funktionstüchtig ist?
(b) Der überprüfte Rechner erweist sich als nicht funktionstüchtig.
(i) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wurde der Rechner von Firma B geliefert?
(ii) Welche Firma kommt am ehesten für die Lieferung in Frage?
(c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wurde der Rechner von Firma A oder von Firma C geliefert, wenn er sich bei der Überprüfung als funktionstüchtig erweist? |
Vorab:
A [mm] $\hat=$ [/mm] Rechner stammt von Firma A
B [mm] $\hat=$ [/mm] Rechner stammt von Firma B
C [mm] $\hat=$ [/mm] Rechner stammt von Firma C
D [mm] $\hat=$ [/mm] Rechner stammt von Firma D
$P(A)=0.3,P(B)=0.1,P(C)=0.1,P(D)=0.5$
$W$ [mm] $\hat=$ [/mm] Rechner funktioniert
[mm] $W^c \hat=$ [/mm] Rechner funktioniert nicht
[mm] $P(W^c|A)=0.05,P(W^c|B)=0.05 P(W^c|C)=0.02,P(W^c|D)=0.04$
[/mm]
Daraus folgt mit der Regel [mm] $P(A|B)+P(A|B^c)=1$
[/mm]
$P(W|A)=0.95,P(W|B)=0.95 ,P(W|C)=0.98,P(W|D)=0.96$
$a)$
$P(W)=P(A)* P(W|A)+P(B)*P(W|B)+P(C)*P(W|C)+P(D)*P(W|D)= 0,958 [mm] \approx [/mm] 95,8 [mm] \%$
[/mm]
[mm] $P(W^c)= [/mm] 1-0.958= 0.042 = 4.2 [mm] \%$
[/mm]
$b)$
$i)$
Der überprüfte Rechner erweist sich als nicht funktionstüchtig.
(i) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wurde der Rechner von Firma B geliefert?
Lösung : [mm] $B|W^c \hat=$ [/mm] Mit welcher Wahrscheinlichkeit wurde der Rechner von Firma B geliefert.
[mm] $P(B|W^c)=$ [/mm] mit Bayes $ = [mm] \frac{P(B)*P(W^c|B)}{P(W^c)}= \frac{0.005}{0.042}=11.9 \%$
[/mm]
$ii)$
der rest ist hier auch Bayes
[mm] $P(A|W^c)=$ [/mm] mit Bayes $ = [mm] \frac{P(A)*P(W^c|A)}{P(W^c)}= \frac{0.015}{0.042}=35.7 \%$
[/mm]
[mm] $P(C|W^c)=$ [/mm] mit Bayes $ = [mm] \frac{P(C)*P(W^c|C)}{P(W^c)}= \frac{0.002}{0.042}=4.7 \%$
[/mm]
[mm] $P(D|W^c)=$ [/mm] mit Bayes $ = [mm] \frac{P(D)*P(W^c|D)}{P(W^c)}= \frac{0.02}{0.042}=47.6 \%$
[/mm]
Firma D ist wahrscheinlich der Übeltäter ;)
$c)$
$G [mm] \hat=$ [/mm] Rechner von Firma A oder von Firma C geliefert und erweist sich als f.tüchtig.
$P(G) = P(A [mm] \cup [/mm] C|W)$
ist der ansatz richtig bei der c? wenn ja wie rechne ich den? :/
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:54 Do 11.06.2015 | | Autor: | chrisno |
Analog wie bei b) kannst Du die Wahrscheinlichkeit berechnen, ob zum Beispiel der funktionstüchtige Rechner von der Firma A geliefert wurde. Genau so für den Fall der Firma C. Dann kannst Du beide Wahrscheinlichkeiten addieren.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:02 Do 11.06.2015 | | Autor: | nkln |
also
$P(A|W)+P(C|W)= [mm] \frac{P(W|A)*P(A)}{P(W)}+\frac{P(W|C)*P(C)}{P(W)}= \frac{0.95*0.3}{0.958}+\frac{0.98*0.1}{0.958}=0,399791 \approx [/mm] 39,97 [mm] \%$ [/mm]
ist das so richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:31 Do 11.06.2015 | | Autor: | chrisno |
Ich bin nicht der Stochastik-Eperte, aber ich finde, dass es gut aussieht. Es ist auch ein sinnvolles Ergebnis. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein beliebiger Rechner von Firma A oder C kommt ist 0,3 + 0,1 = 0,4. Die defekten Rechner stellen nur einen kleinen Anteil aller Rechner dar. Darum sollte das Ergebnis für c nicht allzusehr von 0,4 abweichen. Dass es so wenig ist, wundert mich ein wenig.
Ein kleiner Test spricht auch für die Richtigkeit: Wenn nun noch die Wahrscheinlichkeiten für B und D dazu addiert werden, kommt 1 heraus. Das passt, denn von einer der vier Firmen muss der Rechner ja kommen.
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