bedingte Erwartung < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:54 Sa 12.06.2010 | | Autor: | Irmchen |
Hallo alle zusammen!
In einem Beispiel habe ich folgendes gefunden:
Sei [mm] \mathcal F [/mm] endliche [mm] \sigma [/mm] - Algebra.
Dann wird [mm] \mathcal F [/mm] von endliche vielen Atomen [mm] B_1, .. , B_n [/mm] erzeugt.
[mm] \mathcal F = \{ \summe_{ i \in I } B_i \ | \ I \in \{ 1, ... ,n \} \},
\summe_{ i } B_i = \Omega [/mm].
Dann gilt: [mm] E ( X \ | \ \mathcal F ) = \summe_{ i = 1 }^n E ( X \ | B_i ) 1_{B_i} [/mm]
Beweis :
Sei [mm] T = \summe_{ i \in I } B_i \ \ \in \mathcal F [/mm].
[mm] \integral_T X dP = \summe_{ i \in I } \integral_{B_i} X \bruch{P(B_i)}{P(B_i)} = \summe_{ i \in I } E( X \ | \ B_i ) P(B_i)
= \integral_{\summe_{ i \in I } B_i } \summe_{k=1}^n E( X \ | \ B_k )
1_{B_k} dP [/mm]
Ich sehe leider nicht, warum das letzte "=" gilt :-(.
Vielen dank!
Viele grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:50 Sa 12.06.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo alle zusammen!
>
> In einem Beispiel habe ich folgendes gefunden:
>
> Sei [mm]\mathcal F[/mm] endliche [mm]\sigma[/mm] - Algebra.
> Dann wird [mm]\mathcal F[/mm] von endliche vielen Atomen [mm]B_1, .. , B_n[/mm]
> erzeugt.
> [mm]\mathcal F = \{ \summe_{ i \in I } B_i \ | \ I \in \{ 1, ... ,n \} \},
\summe_{ i } B_i = \Omega [/mm].
>
> Dann gilt: [mm]E ( X \ | \ \mathcal F ) = \summe_{ i = 1 }^n E ( X \ | B_i ) 1_{B_i}[/mm]
>
> Beweis :
>
> Sei [mm]T = \summe_{ i \in I } B_i \ \ \in \mathcal F [/mm].
>
> [mm]\integral_T X dP = \summe_{ i \in I } \integral_{B_i} X \bruch{P(B_i)}{P(B_i)} = \summe_{ i \in I } E( X \ | \ B_i ) P(B_i)
= \integral_{\summe_{ i \in I } B_i } \summe_{k=1}^n E( X \ | \ B_k )
1_{B_k} dP[/mm]
>
> Ich sehe leider nicht, warum das letzte "=" gilt :-(.
Du kannst vielleicht für jedes [mm] $i\,$ [/mm] eine Gleichung [mm] $P(B_i)=\int_{}\ldots$ [/mm] benutzen (Du weißt sicher, welche Gleichheit da hingehört). Ich denke, dass es danach dann klar(er) wird.
Beste Grüße,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:05 Sa 12.06.2010 | | Autor: | Irmchen |
Hallo,
also, wenn ich nicht jetz komplett daneben liege würde ich sagen,
[mm] P(B_i) = \integral 1_{B_i} dP [/mm].
Oder???
Und ich habe mir noch überlegt, dass das eigentlich auch gilt, weil
[mm] \integral_{\summe_{ i \in I } B_k } E( X \ | \ B_k )
1_{B_k} dP[/mm] Null ist, wenn [mm] k \notin I [/mm] und
[mm] \integral_{\summe_{ i \in I } B_k } E( X \ | \ B_k )
1_{B_k} dP = E (X \ | B_k ) P(B_k) [/mm] sonst.
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:19 Sa 12.06.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
> also, wenn ich nicht jetz komplett daneben liege würde ich
> sagen,
>
> [mm]P(B_i) = \integral 1_{B_i} dP [/mm].
> Oder???
Ja, also auch
$E(X\ |\ [mm] B_i)*P(B_i)=\int_{B_i} [/mm] E(X\ |\ [mm] B_i)\ [/mm] dP$
weil $E(X\ |\ [mm] B_i)$ [/mm] eine Konstante ist (abhängig vom Index i, aber nicht [mm] $\omega$).
[/mm]
Und
[mm] $\int_{B_i}\summe_{k=1}^n [/mm] E( X \ | \ [mm] B_k [/mm] ) [mm] 1_{B_k} dP=\int_{B_i}E(X\ [/mm] |\ [mm] B_i)\ [/mm] dP$
> Und ich habe mir noch überlegt, dass das eigentlich auch
> gilt, weil
>
> [mm]\integral_{\summe_{ i \in I } B_k } E( X \ | \ B_k )
1_{B_k} dP[/mm]
> Null ist, wenn [mm]k \notin I[/mm] und
>
> [mm]\integral_{\summe_{ i \in I } B_k } E( X \ | \ B_k )
1_{B_k} dP = E (X \ | B_k ) P(B_k)[/mm]
> sonst.
Irgendwie sind die Indizes hier etwas wirr. Was ist jetzt k, was i und wo summierst Du über was? =)
ciao
Stefan
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