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| Aufgabe | | Im Vektorraum V = [mm] \IR^4 [/mm] seien die Untervektorräume U1 = {(x1,x2,x3,x4) | x1-x2+2x4=0 } und U2=span((-1,-1,1,-2),(1,-1,-1,-7)) gegeben. Geben Sie jeweils Basen für die Untervektorräume U1, U2, [mm] U1\capU2 [/mm] und U1+U2 an. Ist U1+U2 damit eine direkte Summe? |
So, ich habe jetzt die Basen bestimmt und wäre echt froh, wenn jemand mal schauen könnte, ob ich das richtig gemacht habe.
Also zu U1:
die vektoren in U1 haben die Form (x1,x2,x3,0,5x2-0,5x1)
Erzeugt werden alle vektoren aus U1 durch:
[mm] \vektor{x1 \\ x2 \\ x3 \\ 0,5x2-0,5x1} [/mm] = x1 * [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ -0,5} [/mm] + x2 * [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0,5} [/mm] + x3 * [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 0} [/mm] + x4 * [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
(1 , 0 , 0 , -0,5 ), (0, 1 , 0 , 0,5), (0 , 0 , 1 , 0) und (0,0,0,0) sind also erzeugendensystem von U1.
nun habe ich diese vektoren in eine matrix geschrieben und erhalte ohne weitere zeilenumformunegn, dass diese vektoren bis aus (0,0,0,0) basis von U1 sind, da die matrix schon zeilenstufenform hat.
zu U2:
ich habe die 2 Vektoren in eine Matrix geschrieben und erhalte nach Umformung in Zeilen - Stufen - Form:
Basis von U2 sind (-1, 1 ,0, 1), (0, -2, 0, -9)
Basis von U1 geschnitten U2:
ich habe die 5 basisvektoren von u1 und u2 gleichgesetzt und das ganze dann so umgeformt, das ich auf ein homogenes lin. gleichungssystem komme. dann habe ich dieses umgeformt und komme alle lösungen in abhängigkeit von einem parameter s. wenn ich diese lösungen in meine gleichung einsetze, komme ich auf folgenden basisvektor:
(-1 , -0,5 , 1 , 0,25) ist basis von U1 geschnitten U2
zu U1 + U2
also, das war mir noch nicht ganz klar. ich denke, ich nehme wieder die basisvektoren von U1 und U2 und schreibe diese als zeilen in eine Matrix.
Dann komme ich auf eine Basis mit 5 Vektoren:
(1, 0 , 0 , -0,5), (0 , 1 , 0 , 0,5), (0,0,1,-2), (0,0,0,2), (0,0,0,-8)
jetzt meine frage: ist das soweit erstmal richtig oder habe ich irgendwo einen denkfehler?
und dann habe ich noch ein problem bezüglich U1:
also ich habe diese aufgabe erst auf anderem wege versucht zu lösen. ich habe mir dazu 4 Vektoren aus U1 gesucht, die jeweils an jeder Stelle einmal eine 0 haben:
(-1,1,0,1), (0,1,3, -0,5), (-1,0,10, 0,5), (1,1,2,0)
so, ich habe dann gezeigt, dass diese ein erzeugendensystem von U1 sind. daher kann ich diese vektoren ja jetzt auch in eine Matrix schreiben (als Zeilen) und müsste so die basis bestimmen können. allerdings komme ich auf diesem weg zu 4 basisvektoren und nicht 3, aber auf dem anderen weg habe ich ja festgestellt, dass es 3 sind (und beim weiterrechnen müssen es ja auch 3 sein, sonst ließe sich der schnit nicht so berechnen, wie wir das in der übung gelernt haben).
aber wo liegt bei diesem weg der denkfehler, warum kommt man so auf eine falsche lösung?
danke schonmal für die hilfe,
die_conny
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:20 Do 06.12.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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