basis < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:45 Mi 06.06.2012 | | Autor: | korken26 |
| Aufgabe | Geben Sie eine Basis und die Dimension folgender Unterräume
des IR2 bzw. IR4 an:
W1 = L{(1, 5)T ; (5, 1)T ; (1, 4)T ; (4, 1)T }
W2 = L{(1, 1, 1, 1)T ; (0, 1, 2, 3)T ; (0, 0 − 1,−1)T ; (0, 1, 1, 2)T } |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
hallo an alle,
ich bräuchte mal eure hilfe.
i)bei w2 habe ich herausgefunden, dass diese 4 vektoren zwar lin. unabh. sind, aber keinen erzeugendens. bilden. daher bilden diese 4 vektoren keine basis. jetzt weiß ich aber nicht, wie ich eine basis herausfinden soll.
ii)bei w1 habe ich als basis: (1 5)T ; (5 1)T
meine vorgehensweise: da ich im R2 bin, ist dim w1=2. daher brauche ich ja nur 2 vektoren. dann habe ich mir die vektoren (1 5)T ; (5 1)T herausgenommen und überprüft, ob sie eine basis bilden oder nicht. aber in der tat, sie bilden eins.
nun frage ich mich aber, ob bei w1 mein ergebnis stimmt.
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moin,
> Geben Sie eine Basis und die Dimension folgender
> Unterräume
> des IR2 bzw. IR4 an:
> W1 = L{(1, 5)T ; (5, 1)T ; (1, 4)T ; (4, 1)T }
> W2 = L{(1, 1, 1, 1)T ; (0, 1, 2, 3)T ; (0, 0 − 1,−1)T
> ; (0, 1, 1, 2)T }
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
>
> hallo an alle,
> ich bräuchte mal eure hilfe.
>
> i)bei w2 habe ich herausgefunden, dass diese 4 vektoren
> zwar lin. unabh. sind, aber keinen erzeugendens. bilden.
Das kann nicht sein.
Die Vektoren stammen allesamt aus dem [mm] $\IR^4$. [/mm] Sind sie also linear unabhängig, so sind sie bereits eine Basis (da [mm] $\dim [/mm] ( [mm] \IR^4) [/mm] = 4) und damit auch ein Erzeugendensystem.
Also einer der beiden Punkte ist mindestens falsch, rechne das nochmal nach und falls du keinen Fehler findest poste mal deine Rechnung (zumindest ein paar Schritte).
> daher bilden diese 4 vektoren keine basis. jetzt weiß ich
> aber nicht, wie ich eine basis herausfinden soll.
>
> ii)bei w1 habe ich als basis: (1 5)T ; (5 1)T
> meine vorgehensweise: da ich im R2 bin, ist dim w1=2.
Es gilt [mm] $\dim [/mm] w1 [mm] \leq [/mm] 2$. Es könnte auch sein, dass $w2$ ein echter Unterraum des [mm] $\IR^2$ [/mm] ist.
> daher brauche ich ja nur 2 vektoren. dann habe ich mir die
> vektoren (1 5)T ; (5 1)T herausgenommen und
> überprüft, ob sie eine basis bilden oder nicht. aber in
> der tat, sie bilden eins.
> nun frage ich mich aber, ob bei w1 mein ergebnis stimmt.
Die beiden Vektoren sind linear unabhängig.
Somit bilden sie eine Basis des [mm] $\IR^2$ [/mm] und es gilt damit $w1 = [mm] \IR^2$.
[/mm]
Du solltest dir vielleicht nochmal folgendes klar machen:
Ist $V$ ein Vektorraum der Dimension $n$ und [mm] $v_1,\ldots [/mm] , [mm] v_k \in [/mm] V$, so ist [mm] $L\{ v_1,\ldots v_k\} \subseteq [/mm] V$, denn mit Linearkombinationen von Vektoren aus $V$ kann man niemals Vektoren darstellen, die nicht in $V$ liegen (beachte dafür die Vektorraumaxiome).
Findest du nun $n$ linear unabhängige [mm] $v_i$ [/mm] so gilt aufgrund der Dimension auch die andere Inklusion, also " [mm] $\supseteq$".
[/mm]
Damit sind die beiden Vektorräume in diesem Fall (wie auch in deinen Fällen in dieser Aufgabe) gleich.
lg
Schadowmaster
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:16 Mi 06.06.2012 | | Autor: | korken26 |
die lin. unabhängigkeit bei w2 ist garantiert richtig.
erzeugendens.:
[mm] \alpha*\vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 1} [/mm] + [mm] \beta*\vektor{0\\1\\2\\3} [/mm] + [mm] \delta*\vektor{0 \\ 0 \\ -1 \\ -1} [/mm] + [mm] \omega*\vektor{0 \\ 1 \\ 1 \\ 2} [/mm] = [mm] \vektor{a\\b\\c\\d}
[/mm]
==>
i) [mm] \alpha [/mm] = a
ii) [mm] \alpha [/mm] + [mm] \beta [/mm] + [mm] \omega [/mm] = b
iii) ....
iv) ....
wenn man aber i) in ii) einsetzt, erhält man doch soetwas:
a + [mm] \beta [/mm] + [mm] \omega [/mm] = b
das heißt doch, dass es kein erzeugendensystem bildet, oder?
laut deiner aussage stimmt also mein ergebnis, oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:27 Mi 06.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> die lin. unabhängigkeit bei w2 ist garantiert richtig.
dann bilden die Vektoren würden diese Vektoren eine Basis des [mm] $\IR^4$ [/mm] bilden und damit insbesondere ein Erzeugendensystem.
Und ich widerspreche Dir (siehe unten das P.S.): Die Lineare Unabhängigkeit ist GARANTIERT FALSCH!
> erzeugendens.:
> [mm]\alpha*\vektor{1 \\ 1 \\ 1 \\ 1}[/mm] +
> [mm]\beta*\vektor{0\\1\\2\\3}[/mm] + [mm]\delta*\vektor{0 \\ 0 \\ -1 \\ -1}[/mm]
> + [mm]\omega*\vektor{0 \\ 1 \\ 1 \\ 2}[/mm] = [mm]\vektor{a\\b\\c\\d}[/mm]
>
> ==>
>
> i) [mm]\alpha[/mm] = a
> ii) [mm]\alpha[/mm] + [mm]\beta[/mm] + [mm]\omega[/mm] = b
> iii) ....
> iv) ....
>
> wenn man aber i) in ii) einsetzt, erhält man doch
> soetwas:
> a + [mm]\beta[/mm] + [mm]\omega[/mm] = b
>
> das heißt doch, dass es kein erzeugendensystem bildet,
> oder?
Das ist doch Quatsch, dass man das so schnell erkennen sollte. Da musst Du schon weiter arbeiten. (Das Einsetzverfahren ist doch eigentlich ganz logisch: Man löst die erste Gleichung nach einer Variablen auf (die erste Gleichung merkt man sich irgendwo!), setzt das Ergebnis davon in ALLE anderen Gleichungen ein. Dieses Spiel setzt man nun fort mit den so entstandenen Gleichungen ohne die erste Gleichung... Das Gaußverfahren geht imPrinzip genauso vor, nur, dass man Variablen durch geeignete Addition von Gleichungen eliminiert!)
Also rechne mal das alles zu Ende, dann wirst Du sehen, dass Du ein [mm] $(\alpha,\beta,\delta,\omega)$ [/mm] passend zu gegebenem $(a,b,c,d)$ finden wirst.
Edit: Das Durchgestrichene war falsch. Denn ich habe unten begründet, warum Deine Behauptung mit der linearen Unabhängigkeit falsch ist. Als ich das Durchgestrichene geschrieben hatte, hatte ich Dir einfach mal "blind" vertraut...
Schreib' Dir mal das ganze Gleichungssystem auf. Dann benutze das Gauß-Verfahren.
Oder mach's Dir einfacher: Eine Gleichung
[mm] $$A*x=r\,,$$
[/mm]
mit $A [mm] \in \IR^{4 \times 4}\,,$ [/mm] $r [mm] \in \IR^4$ [/mm] fest, hat genau dann eine Lösung, wenn [mm] $A\,$ [/mm] invertierbar ist, also genau dann, wenn [mm] $\det(A) \not=0$ [/mm] gilt.
(Bei Dir wäre [mm] $A=\pmat{1&0&0&0\\1&1&0&1\\1&2&-1&1\\1&3&-1&2}$ [/mm] (d.h. die gegebenen Spaltenvektoren werden nebeneinander geschrieben), [mm] $x=(\alpha,\beta,\delta,\omega)^T$ [/mm] und [mm] $r=(a,b,c,d)^T\,.$ [/mm] ("Hoch T" bedeutet "transponiert".))
P.S.
Ich habe mir bei ![[]](/images/popup.gif) Bruenner [mm] $\det [/mm] A=0$ ausrechnen lassen. Daher ist es falsch, dass die Vektoren linear unabhängig sind. Sie sind linear abhängig!
Rechne also bitte mal vor, wie Du auf die lineare Unabhängigkeit gekommen bist!
P.P.S.
Finde bei w2 eine "maximale Menge linear unabhängiger Vektoren" (die Anzahl der Elemente dieser Menge wird definitiv [mm] $\le [/mm] 3$ sein müssen!), dann hast Du eine Basis Deines Unterraums.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:23 Mi 06.06.2012 | | Autor: | korken26 |
für w2 habe ich folgendes raus:
[mm] \alpha [/mm] * [mm] \vektor{1\\1\\1\\1}+\beta [/mm] * [mm] \vektor{0\\0\\-1\\-1}+\gamma [/mm] * [mm] \vektor{0\\1\\1\\2}=0
[/mm]
=> lin. unabhängig
[mm] \alpha [/mm] * [mm] \vektor{1\\1\\1\\1}+\beta [/mm] * [mm] \vektor{0\\0\\-1\\-1}+\gamma [/mm] * [mm] \vektor{0\\1\\1\\2}= \vektor{a\\b\\c\\d}
[/mm]
=> [mm] \vektor{a\\b\\c\\d} [/mm] = [mm] \vektor{\alpha\\\alpha+\gamma\\\alpha-\beta+\gamma\\\alpha-\beta+2*\gamma}
[/mm]
=> erzeugendensystem
==>
[mm] \vektor{1\\1\\1\\1}, \vektor{0\\0\\-1\\-1},\vektor{0\\1\\1\\2}
[/mm]
bilden eine Basis
mit dim(w2)=3
stimmt es so weit??
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:45 Mi 06.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> für w2 habe ich folgendes raus:
>
> [mm]\alpha[/mm] * [mm]\vektor{1\\1\\1\\1}+\beta[/mm] *
> [mm]\vektor{0\\0\\-1\\-1}+\gamma[/mm] * [mm]\vektor{0\\1\\1\\2}=0[/mm]
rechterhand die [mm] $0\,$ [/mm] ist die [mm] $(0,0,0,0)^T \in \IR^4\,,$ [/mm] nicht die $0 [mm] \in \IR\,.$ [/mm] Du kannst das ruhig so schreiben, aber Dir dessen bewußt sein, was ich hier gesagt habe!
> => lin. unabhängig
Das scheint mir zwar sehr plausibel, aber es fehlt jegliche Rechnung, wie Du aus der gegebenen Gleichung folgerst, dass diese nur für [mm] $\alpha=\beta=\gamma=0\;\;(\in \IR)$ [/mm] erfüllt ist.
>
> [mm]\alpha[/mm] * [mm]\vektor{1\\1\\1\\1}+\beta[/mm] * [mm]\vektor{0\\0\\-1\\-1}+\gamma[/mm] * [mm]\vektor{0\\1\\1\\2}= \vektor{a\\b\\c\\d}[/mm]
Das kannst Du hier schon vergessen: Mit drei Vektoren bekommst Du niemals den [mm] $\IR^4$ [/mm] aufgespannt. (Rechterhand hast Du IRGENDEINEN Vektor des [mm] $\IR^4$ [/mm] stehen!)
Wenn Du nicht mit Kenntnissen aus der linearen Algebra arbeiten willst (eine tolle Kenntnis ist doch, dass ein Teilmenge von [mm] $n\,$ [/mm] LINEAR UNABHÄNGIGEN (Edit/Kommentar: Verzeih', ich hatte das wichtige, nun großgeschriebene eben vergessen!) Vektoren eines [mm] $n\,$-dimensionalen [/mm] Vektorraums schon automatisch eine Basis und damit insbesondere ein Erzeugendensystem dieses Vektorraums ist):
Wenn Du eine Menge [mm] $\{v_1,v_2,v_3,v_4\} \subseteq [/mm] V$ eines [mm] $4\,$ [/mm] dimensionalen Vektorraums [mm] $V\,$ [/mm] über [mm] $\IR$ [/mm] hast, dann ist der lineare Span dieser Menge [mm] $\{v_1,v_2,v_3,v_4\} [/mm] $ gegeben durch
[mm] $$L\{v_1,v_2,v_3,v_4\}=\left\{v=\sum_{k=1}^4 \alpha_k v_k:\;\;\alpha_i \in \IR \text{ für alle }i \in \{1,2,3,4\}\right\}\,.$$
[/mm]
Wenn Du nun sagst, dass [mm] $v_{j_1},v_{j_2}$ [/mm] und [mm] $v_{j_3}$ [/mm] (mit [mm] $j_i \in \{1,2,3,4\}$ [/mm] für alle $i [mm] \in \{1,2,3\}$) [/mm] aber schon linear unabhängig sind, und Du nun zeigen willst, dass daher auch
[mm] $$\{v_{j_1},v_{j_2},v_{j_3}\}$$
[/mm]
ein Erzeugendensystem von [mm] $L\{v_1,v_2,v_3,v_4\}$ [/mm] ist, so ist nur noch [mm] $L\{v_1,v_2,v_3,v_4\} \subseteq L\{v_{j_1},v_{j_2},v_{j_3}\}$ [/mm] nachzuweisen. (Denn die umgekehrte Mengeninklusion ist klar - warum?)
Du musst Dir also (irgend-)ein Element aus [mm] $L\{v_1,v_2,v_3,v_4\}$ [/mm] vorgeben (d.h. irgendeine Linearkombination aus den [mm] $v_1,v_2,v_3,v_4$) [/mm] und dann zeigen, dass dieses in [mm] $L\{v_{j_1},v_{j_2},v_{j_3}\}$ [/mm] liegt, also, dass es als Linearkombination der drei Vektoren [mm] $v_{j_1},v_{j_2},v_{j_3}$ [/mm] geschrieben werden kann.
Das erkennt man dann leicht, weil man eines der [mm] $v_i$ ($\,i=1,2,3,4$) [/mm] schreiben kann als Linearkombination der anderen drei.
P.S.
Ich rechne jetzt mal nach, ob Deine 3 Vektoren oben nun wirklich linear unabhängig sind.
Edit: In der Tat, das sieht man schnell, dass dort [mm] $\alpha=0$ [/mm] und damit [mm] $\gamma=0$ [/mm] folgt, und damit auch [mm] $\beta=0$ [/mm] gelten muss.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:54 Do 07.06.2012 | | Autor: | korken26 |
ok. ich habe nun w2 so gemacht:
[mm] \alpha [/mm] * [mm] \vektor{1\\1\\1\\1}+\beta [/mm] * [mm] \vektor{0\\0\\-1\\-1}+\gamma [/mm] * [mm] \vektor{0\\1\\1\\2}+\delta* \vektor{0\\0\\0\\1} [/mm] = [mm] \vektor{0\\0\\0\\0}
[/mm]
ab hier habe ich die lineare unabhängigkeit gezeigt.
heißt es also, dass
[mm] \vektor{1\\1\\1\\1}, \vektor{0\\0\\-1\\-1}, \vektor{0\\1\\1\\2},\vektor{a\\b\\c\\d} [/mm]
eine basis zu w2 bilden??
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Hallo korken26,
> ok. ich habe nun w2 so gemacht:
>
> [mm]\alpha[/mm] * [mm]\vektor{1\\1\\1\\1}+\beta[/mm] *
> [mm]\vektor{0\\0\\-1\\-1}+\gamma[/mm] * [mm]\vektor{0\\1\\1\\2}+\delta* \vektor{0\\0\\0\\1}[/mm]
> = [mm]\vektor{0\\0\\0\\0}[/mm]
>
> ab hier habe ich die lineare unabhängigkeit gezeigt.
>
> heißt es also, dass
> [mm]\vektor{1\\1\\1\\1}, \vektor{0\\0\\-1\\-1}, \vektor{0\\1\\1\\2},\vektor{a\\b\\c\\d}[/mm]
> eine basis zu w2 bilden??
>
Hierzu müssen a,b,c,d so gewählt werden,
daß diese 4 Vektoren linear unabhängig sind.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 12:29 Do 07.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Mathepower,
> Hallo korken26,
>
> > ok. ich habe nun w2 so gemacht:
> >
> > [mm]\alpha[/mm] * [mm]\vektor{1\\1\\1\\1}+\beta[/mm] *
> > [mm]\vektor{0\\0\\-1\\-1}+\gamma[/mm] * [mm]\vektor{0\\1\\1\\2}+\delta* \vektor{0\\0\\0\\1}[/mm]
> > = [mm]\vektor{0\\0\\0\\0}[/mm]
> >
> > ab hier habe ich die lineare unabhängigkeit gezeigt.
> >
> > heißt es also, dass
> > [mm]\vektor{1\\1\\1\\1}, \vektor{0\\0\\-1\\-1}, \vektor{0\\1\\1\\2},\vektor{a\\b\\c\\d}[/mm]
> > eine basis zu w2 bilden??
> >
>
>
> Hier meinst wohl:
>
> [mm]\vektor{1\\1\\1\\1}, \vektor{0\\0\\-1\\-1}, \vektor{0\\1\\1\\2},\blue{\vektor{0\\0\\0\\1}}[/mm]
>
> Da diese 4 Vektoren linear unbahängig sind,
> bilden diese 4 Vektoren eine Basis des [mm]\IR^{4}[/mm].
Deine Antwort ist nicht falsch, passt aber nicht zur Aufgabe (Du kannst daher den Status "kleiner Fehler" gerne ändern):
Es ging' hier nur darum, eine Basis von [mm] $W_2$ [/mm] anzugeben. Was in korkens Frage der Vektor [mm] $\vektor{a\\b\\c\\d}$ [/mm] sein soll - keine Ahnung, das macht keinen Sinn, sofern [mm] $a,b,c,d\,$ [/mm] ja dort eh anscheinend variabel sind.
Du hast schon recht: So könnte man eine Basis des [mm] $W_2$ [/mm] zu einer Basis des [mm] $\IR^4$ [/mm] ergänzen. Aber das ist nicht die Aufgabe!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:26 Do 07.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> ok. ich habe nun w2 so gemacht:
>
> [mm]\alpha[/mm] * [mm]\vektor{1\\1\\1\\1}+\beta[/mm] *
> [mm]\vektor{0\\0\\-1\\-1}+\gamma[/mm] * [mm]\vektor{0\\1\\1\\2}+\delta* \vektor{0\\0\\0\\1}[/mm]
> = [mm]\vektor{0\\0\\0\\0}[/mm]
>
> ab hier habe ich die lineare unabhängigkeit gezeigt.
>
> heißt es also, dass
> [mm]\vektor{1\\1\\1\\1}, \vektor{0\\0\\-1\\-1}, \vektor{0\\1\\1\\2},\vektor{a\\b\\c\\d}[/mm]
> eine basis zu w2 bilden??
nein - es heißt, dass diese DREI Vektoren
[mm] $$\vektor{1\\1\\1\\1}, \vektor{0\\0\\-1\\-1}, \vektor{0\\1\\1\\2}$$
[/mm]
eine Basis des [mm] $W_2$ [/mm] bilden.
Was Mathepower geantwortet hat, passt dazu, wenn die Aufgabe gewesen wäre, einen Basis des [mm] $W_2$ [/mm] zu einer Basis des [mm] $\IR^4$ [/mm] zu ergänzen!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:44 Do 07.06.2012 | | Autor: | korken26 |
hallo,
nur diese drei vektoren also bilden meine basis.
muss ich nun noch zeigen, dass es ein erzeugendensystem ist??
falls ja, bekomme ich heraus:
[mm] \alpha*\vektor{1\\1\\1\\1}+\beta*\vektor{0\\0\\-1\\-1}+\gamma*\vektor{0\\1\\1\\2}=\vektor{a\\b\\c\\d}
[/mm]
=>
[mm] \vektor{a\\b\\c\\d} [/mm] = [mm] \vektor{\alpha\\\alpha+\gamma\\\alpha-\beta+\gamma\\\alpha-\beta+2*\gamma}
[/mm]
=>
basis
stimmt es soweit? reicht es als antwort aus??
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:44 Do 07.06.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
Eine Basis ist i,,er auch ein Erzeugendensysem . ein erzeugendem System war schon deine urspruenglichen 4 bektoren, du kannst auch noch ein paar lin. abhaengige hinzufuegen, eine basis ist ein minimales Erzeugenden System.
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:28 Fr 08.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Leduart,
> Hallo
> Eine Basis ist i,,er auch ein Erzeugendensysem . ein
> erzeugendem System war schon deine urspruenglichen 4
> bektoren,
da hast Du Recht. Es ging korken aber darum, wenn er das ursprüngliche Erzeugendensystem durch Wegnahme von "minimal vielen Vektoren" so verkleinert, dass dann nur noch linear unabhängige Vektoren über bleiben (er also aus einem Erzeugendensystem des genannten Unterraums in der Tat eine Basis von [mm] $W_2$ [/mm] gebildet hat), dass er dann auch nochmal konkret nachrechnen will, dass das in der Tat auch ein Erzeugendensystem von [mm] $W_2$ [/mm] bleibt.
> du kannst auch noch ein paar lin. abhaengige
> hinzufuegen, eine basis ist ein minimales Erzeugenden
> System.
Richtig.
Und weil es mir nun irgendwie auch zu anstrengend wird, schreibe ich mal (nicht für Dich, sondern für korken) einfach mal einen kleinen Beweis auf:
Sei [mm] $\{v_1,v_2,v_3,v_4\}$ [/mm] ein Erzeugendensystem eines dreidimensionaler Unterraum [mm] $U\,$ [/mm] eines 4 dimensionalen Vektorraums [mm] $V\,$ [/mm] über [mm] $\IR\,.$
[/mm]
Es gilt [mm] $U=L\{v_1,v_2,v_3,v_4\}\,.$ [/mm] O.E. seien [mm] $v_1,v_2,v_3$ [/mm] linear unabhängig. (O.E., weil man dies gegebenenfalls durch Umnummerierung der Vektoren immer erreichen kann, da ja 3 der vier Vektoren linear unabhängig sein müssen!)
Dann folgt [mm] $v_4=\sum_{k=1}^3 \alpha_k' v_k$ [/mm] mit einem [mm] $(\alpha_1',\alpha_2',\alpha_3') \in \IR^3\,,$ [/mm] weil ja die Menge [mm] $\{v_1,v_2,v_3,v_4\}$ [/mm] linear abhängig ist.
Um nun zu sehen, dass in der Tat [mm] $\{v_1,v_2,v_3\}$ [/mm] schon ein EZS von [mm] $U\,$ [/mm] ist:
Sei $u [mm] \in U\,,$ [/mm] also [mm] $u=\sum_{k=1}^4 \alpha_k v_k\,.$ [/mm] Wir schreiben [mm] $u=(\sum_{k=1}^3 \alpha_k v_k)+\alpha_4 v_4\,,$ [/mm] und mit [mm] $v_4=\sum_{k=1}^3 \alpha_k' v_k$ [/mm] folgt sodann
[mm] $$u=(\sum_{k=1}^3 \alpha_k v_k)+\alpha_4 \sum_{k=1}^3 \alpha_k' v_k=\sum_{k=1}^3 (\alpha_k+\alpha_4 \alpha_k')v_k\,.$$
[/mm]
Also folgt $u [mm] \in L\{v_1,v_2,v_3\}\,.$
[/mm]
Das ist das ganze ein wenig mehr theoretisch aufgeschrieben - aber genauso kann man es für korkens Zwecke konkret auf seine Aufgabe mit den gegebenen Vektoren anpassen und hinschreiben. (Man kann sogar die [mm] $\alpha_i'$ [/mm] konkret angeben.)
(@korken: Kurz und prägnant gesagt: Was man hier sieht, ist, dass jede durch die vier gegebenen Vektoren gegebene Linearkombination schon geschrieben werden kann als eine durch die drei linear unabhängigen Vektoren gegebene Linearkombination.)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:02 Fr 08.06.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo korken,
> hallo,
> nur diese drei vektoren also bilden meine basis.
> muss ich nun noch zeigen, dass es ein erzeugendensystem
> ist??
das kannst Du gerne tun, musst es aber nicht. Aber Du kannst nur beweisen, dass "diese drei Vektoren" (und nicht es, was soll denn "es" sein?) "zusammen eine Basis des genannten Unterraums [mm] $W_2$ [/mm] bilden". Ich hatte Dir geschrieben, wie das geht. Und so
> falls ja, bekomme ich heraus:
>
> [mm]\alpha*\vektor{1\\1\\1\\1}+\beta*\vektor{0\\0\\-1\\-1}+\gamma*\vektor{0\\1\\1\\2}=\vektor{a\\b\\c\\d}[/mm]
geht es, wie ich auch schonmal gesagt habe, definitiv nicht. Denn rechterhand gibt's Du Dir irgendeinen Vektor des [mm] $\IR^4$ [/mm] vor. Und dieser Ansatz würde dann darauf hinauslaufen, dass Du zeigen willst, dass die genannten drei Vektoren linkerhand ein Erzeugendensystem des [mm] $\IR^4$ [/mm] bilden. Das kann nur Quatsch werden.
Was Du mit
> $ [mm] \vektor{a\\b\\c\\d} [/mm] $ = $ [mm] \vektor{\alpha\\\alpha+\gamma\\\alpha-\beta+\gamma\\\alpha-\beta+2\cdot{}\gamma} [/mm] $
auch siehst. Denn Du müßtest zu gegebenen [mm] $a,b,c,d\,$ [/mm] stets passende [mm] $\alpha,\beta,\gamma$ [/mm] finden können. Wenn ich mir aber den Vektor
[mm] $$(a,b,c,d)^T=(0,0,-1,10)^T$$
[/mm]
vorgebe (also [mm] $a:=b:=0\,,$ $c:=-1\,$ [/mm] und [mm] $d:=10\,$), [/mm] erhalte ich aus den ersten drei Komponenten [mm] $\alpha=\gamma=0$ [/mm] und [mm] $\beta=1\,,$ [/mm] aber es folgt dann [mm] $\alpha-\beta+2*\gamma=0-1+2*0=-1 \not=10=d\,.$
[/mm]
Du musst Dir einfach mal mehr Gedanken über das machen, was ich geschrieben habe. Du wiederholst nämlich hier immer die gleichen Fragen, was nicht notwendig wäre, wenn Du Dir da mal ein paar Gedanken mehr zu gemacht hättest. (Ich hatte schon geschrieben, dass Du mit 3 Vektoren niemals einen 4-dimensionalen Vektorraum über [mm] $\IR$ [/mm] aufspannen kannst!) Oder an welcher Stelle hapert's bei Dir nun noch genau? So, wie mir's scheint, ist Dir an manchen Stellen nicht klar, was man eigentlich vorgibt und nachzurechnen hat, wenn man zeigen will, dass [mm] "$N\,$ [/mm] Vektoren ein Erzeugendensystem eines Unterraums sind". Ein Standardergebnis der linearen Algebra ist:
Wenn ich mit einem $n [mm] \in \IN$ [/mm] einen [mm] $n\,$-dimensionalen [/mm] Vektorraum über [mm] $\IR$ [/mm] habe (der Vektorraum ist also endlich dimensional), heiße dieser [mm] $V\,,$ [/mm] und wenn [mm] $v_1,...,v_p \in [/mm] V$ zusammen ein Erzeugendensystem von [mm] $V\,$ [/mm] bilden, dann muss die Anzahl [mm] $p\,$ [/mm] der Vektoren größergleich der Dimension von [mm] $V\,$ [/mm] sein, d.h. dann muss gelten $p [mm] \ge n\;\;\;(=\dim(V))\,.$
[/mm]
Oben: Du hattest DREI Vektoren, diese können niemals den [mm] $\IR^4$ [/mm] aufspannen, denn die Dimension des [mm] $\IR^4$ [/mm] ist [mm] $4\,,$ [/mm] und es gilt nunmal NICHT $3 [mm] \ge 4\,.$ [/mm]
Gruß,
Marcel
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