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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:20 Mo 14.11.2005 | | Autor: | bobby |
Hallo!
Ich habe ein Problem mit der folgenden Aufgabe, hab mir die schon so oft durchgelesen und nicht mal nen Ansatz von einer Lösung...
Seien V und W endlich dimensionale Vektorräume mit
V = [mm] V_{1} \oplus V_{2} [/mm] und W = [mm] W_{1} \oplus W_{2} [/mm] . Weiter sei
F: V [mm] \to [/mm] W linear und
[mm] F(V_{i}) \subset W_{i} [/mm] . Setze [mm] n_{i}=dimV_{i} [/mm] und [mm] m_{i}=dimW_{i}, [/mm] für i=1,2.
Zeige, dass es Basen [mm] \cal{A} [/mm] von V und [mm] \cal{B} [/mm] von W gibt, so dass [mm] M^{\cal{A}}_{\cal{B}}=\pmat{ A & 0 \\ 0 & B } [/mm] , wobei A eine [mm] (m_{1}\timesn_{1}) [/mm] und B eine [mm] (m_{2}\timesn_{2}) [/mm] Matrix ist.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:30 Mo 14.11.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Bobby!
> Zeige, dass es Basen $ [mm] \cal{A} [/mm] $ von V und $ [mm] \cal{B} [/mm] $ von W gibt, so dass $ [mm] M^{\cal{A}}_{\cal{B}}=\pmat{ A & 0 \\ 0 & B } [/mm] $ , wobei A eine $ [mm] (m_{1}\timesn_{1}) [/mm] $ und B eine $ [mm] (m_{2}\timesn_{2}) [/mm] $ Matrix ist.
Nimm doch einfach die Vereinigungen der Basen von [mm] $V_1,V_2$ [/mm] und [mm] $W_1,W_2$. [/mm] Seien also [mm] ${\cal A}_1,{\cal A}_2\subset [/mm] V$ Basen von [mm] $V_1,V_2$ [/mm] und [mm] ${\cal B}_1,{\cal B}_2\subset [/mm] W$ Basen von [mm] $W_1,W_2$, [/mm] dann setze [mm] ${\cal A}={\cal A}_1\cup{\cal A}_2$ [/mm] und [mm] ${\cal B}={\cal B}_1\cup{\cal B}_2$. [/mm] Es sei dir überlassen zu verifizieren, dass [mm] ${\cal A},{\cal B}$ [/mm] Basen von $V$ bzw. $W$ sind. Aus [mm] $f(V_i)\subset W_i$ [/mm] folgt nun [mm] $f({\cal A}_i)\subset \langle {\cal B}_i\rangle [/mm] $. Wenn du dir nun überlegst, was die Darstellungsmatrix eigentlich angibt bzw. deren Einträge bedeuten, sollte dir klar sein, dass [mm] $_{\cal A} M_{\cal B}$ [/mm] die Form [mm] $\pmat{A&0\\0&B}$ [/mm] hat.
Liebe Grüße,
Hanno
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