banachsche fixpunktsatz < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:36 Fr 02.06.2006 | | Autor: | Janyary |
| Aufgabe | Zeigen Sie mit dem Banachschen Fixpunktsatz: Es gibt genau eine stetige Funktion f: [mm] [-1,1]\to\IR, [/mm] die der Gleichung
[mm] f(x)=x+\bruch{1}{2}sin(f(x)) [/mm] fuer alle x [mm] \in [/mm] [-1,1] genuegt. |
hi leute
was der banachsche fixpunktsatz bedeutet, weiss ich eigentlich.
allgemein formuliert, kann der banachsche fixpunktsatz angewendet werden, wenn ich eine abb. in einem vollstaendigen metr. raum habe, die eine kontraktion ist, richtig?
aber ich kann mit der oben gegebenen gleichung nix anfangen. muss ich mir nun also fuer f(x) eine gleichung ueberlegen (f(x):=u), so dass [mm] u=x+\bruch{1}{2}sin(u) [/mm] gilt?
aber wie hilft mir denn der fixpunktsatz dabei, die loesung zu finden?
hat vielleicht jemand nen tipp? waer echt super.
tut mir leid, dass ich erstmal nicht mehr fuer nen ansatz hab, aber irgendwie verwirrt mich das alles..
LG Jany :)
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Hallo jany,
du sollst ja eine bestimmte stetige funktion finden, deshalb ist der metrische raum, den du betrachten musst der der stetigen funktionen auf $[-1,1]$, also der $C([-1,1])$, den wir einmal $V$ nennen. Du musst jetzt einen geeigneten operator [mm] $F:V\to [/mm] V$ definieren und auf Kontarktion untersuchen:
[mm] $F(u)(x):=x+\frac12\sin(u(x))$
[/mm]
bezüglich der metrik
[mm] $d(u_1,u_2)=\|u_1-u_2\|_{\sup}, u_1,u_2\in [/mm] V$
[mm] $\|.\|_{\sup}$ [/mm] ist die supremums-norm, die kennst du, oder? zu zeigen ist also, dass es ein $C<1$ gibt mit
[mm] $d(F(u_1),F(u_2))\le C\cdot d(u_1,u_2)$
[/mm]
Versuch mal dein glück!
Gruß
Matthias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:32 Fr 02.06.2006 | | Autor: | Janyary |
> Hallo jany,
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> du sollst ja eine bestimmte stetige funktion finden,
> deshalb ist der metrische raum, den du betrachten musst der
> der stetigen funktionen auf [mm][-1,1][/mm], also der [mm]C([-1,1])[/mm], den
> wir einmal [mm]V[/mm] nennen. Du musst jetzt einen geeigneten
> operator [mm]F:V\to V[/mm] definieren und auf Kontarktion
> untersuchen:
>
> [mm]F(u)(x):=x+\frac12\sin(u(x))[/mm]
mit dem teil hier verwirrst du mich, also der gleichung.
meine ausgangsgleichung ist doch diese: [mm]f(x):=x+\frac12\sin(f(x))[/mm]
dabei sind die f(x) die gleichen oder?
ich hatte ja u als u:=f(x) definiert. ist dein u das gleiche wie meins?
aber bei der obigen gleichung hast du ja dann im grunde links das bild F von u(x) und rechts u(x) oder? den schritt verstehe ich nicht ganz.
> bezüglich der metrik
>
> [mm]d(u_1,u_2)=\|u_1-u_2\|_{\sup}, u_1,u_2\in V[/mm]
>
> [mm]\|.\|_{\sup}[/mm] ist die supremums-norm, die kennst du, oder?
supremumsnorm ist die gleiche wie maximumsnorm oder?
> zu zeigen ist also, dass es ein [mm]C<1[/mm] gibt mit
>
> [mm]d(F(u_1),F(u_2))\le C\cdot d(u_1,u_2)[/mm]
also [mm] u_{1}, u_{2} [/mm] sind im grunde reelle stetige funktionen von [mm] [-1,1]\to[-1,1] [/mm] oder?
wenn ich nun ne "normale" funktion haette, f(x)=.. (irgendwas wo nur x drin vorkommt *g*) dann koennte ich doch einfach mit hilfe des mittelwertsatzes die konstante C berechnen, indem ich die ableitung berechne und schaue, ob diese <1 ist. aber bei der gegebenen funktion weiss ich zum einen gar nicht wie ich ableiten koennte, zum andern aber auch nicht wie ich sonst irgendwie abschaetzen kann. muss ich einfach rumprobieren ob ich irgendne funktion f(x) finde, so dass die ableitung kleiner 1 ist oder wie?
LG Jany
ps: tut mir leid, wenn ich mich bloed anstelle.
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> > Hallo jany,
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> > du sollst ja eine bestimmte stetige funktion finden,
> > deshalb ist der metrische raum, den du betrachten musst der
> > der stetigen funktionen auf [mm][-1,1][/mm], also der [mm]C([-1,1])[/mm], den
> > wir einmal [mm]V[/mm] nennen. Du musst jetzt einen geeigneten
> > operator [mm]F:V\to V[/mm] definieren und auf Kontarktion
> > untersuchen:
> >
> > [mm]F(u)(x):=x+\frac12\sin(u(x))[/mm]
>
> mit dem teil hier verwirrst du mich, also der gleichung.
> meine ausgangsgleichung ist doch diese:
> [mm]f(x):=x+\frac12\sin(f(x))[/mm]
> dabei sind die f(x) die gleichen oder?
jep.
> ich hatte ja u als u:=f(x) definiert. ist dein u das
> gleiche wie meins?
ja.
> aber bei der obigen gleichung hast du ja dann im grunde
> links das bild F von u(x) und rechts u(x) oder? den schritt
> verstehe ich nicht ganz.
das ist im grunde der entscheidende schritt! du hast recht, rechts steht $u$ und links $F(u)$, wenn wir jetzt aber zeigen, dass F einen fixpunkt [mm] $u_1$ [/mm] hat, dann gilt [mm] $F(u_1)=u_1$ [/mm] und [mm] $u_1$ [/mm] ist die gesuchte funktion!
>
> > bezüglich der metrik
> >
> > [mm]d(u_1,u_2)=\|u_1-u_2\|_{\sup}, u_1,u_2\in V[/mm]
> >
> > [mm]\|.\|_{\sup}[/mm] ist die supremums-norm, die kennst du, oder?
>
> supremumsnorm ist die gleiche wie maximumsnorm oder?
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
>
> > zu zeigen ist also, dass es ein [mm]C<1[/mm] gibt mit
>
> >
> > [mm]d(F(u_1),F(u_2))\le C\cdot d(u_1,u_2)[/mm]
>
> also [mm]u_{1}, u_{2}[/mm] sind im grunde reelle stetige funktionen
> von [mm][-1,1]\to[-1,1][/mm] oder?
> wenn ich nun ne "normale" funktion haette, f(x)=..
> (irgendwas wo nur x drin vorkommt *g*) dann koennte ich
> doch einfach mit hilfe des mittelwertsatzes die konstante C
> berechnen, indem ich die ableitung berechne und schaue, ob
> diese <1 ist.
das stimmt nicht ganz. [mm] u_1 [/mm] und [mm] u_2 [/mm] sind funktionen, keine x-Werte...allerdings sehen wir gleich, dass die idee nicht so schlecht ist!
aber bei der gegebenen funktion weiss ich zum
> einen gar nicht wie ich ableiten koennte, zum andern aber
> auch nicht wie ich sonst irgendwie abschaetzen kann. muss
> ich einfach rumprobieren ob ich irgendne funktion f(x)
> finde, so dass die ableitung kleiner 1 ist oder wie?
Ich gebe dir noch einen kleinen tip:
[mm] $d(F(u_1),F(u_2))=\|x+\frac12 \sin(u_1(x))-(x+\frac12 \sin(u_2(x)))\|_{\sup}$
[/mm]
versuch es nochmal alleine, der mittelwertsatz wird dir auch helfen....
Gruß
Matthias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:38 So 04.06.2006 | | Autor: | Janyary |
hallo,
also ich hab mir das uebers we nochmal genau angeschaut..
[mm]d(F(u_1),F(u_2))=\|x+\frac12 \sin(u_1(x))-(x+\frac12 \sin(u_2(x)))\|_{\sup}[/mm][mm] =||\bruch{1}{2}sin(u_{1})-\bruch{1}{2}sin(u_{2})||_{\sup}=\bruch{1}{2}||sin(u_{1})-sin(u_{2})||\le\bruch{1}{2}||u_{1}-u_{2}||
[/mm]
kann man das so abschaetzen? demzufolge waer ja dann F(u) eine kontraktion, wegen [mm] C=\bruch{1}{2}
[/mm]
> das ist im grunde der entscheidende schritt! du hast recht,
> rechts steht [mm]u[/mm] und links [mm]F(u)[/mm], wenn wir jetzt aber zeigen,
> dass F einen fixpunkt [mm]u_1[/mm] hat, dann gilt [mm]F(u_1)=u_1[/mm] und [mm]u_1[/mm]
> ist die gesuchte funktion!
ok, wenn das soweit richtig ist, wuerde also gelten [mm] F(u_{1})=u_{1}
[/mm]
also [mm] x+\bruch{1}{2}sin(u_{1})=u_{1}
[/mm]
Aber ich sehe nun immer noch nicht, wie ich nun auf eine konkrete funktion fuer [mm] u_{1} [/mm] komme.
im grunde bin ich doch jetzt genauso schlau wie am anfang, oder?
ich weiss echt nicht weiter hier.
hoffe ihr helft mir.
LG Jany
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> hallo,
>
> also ich hab mir das uebers we nochmal genau angeschaut..
>
> [mm]d(F(u_1),F(u_2))=\|x+\frac12 \sin(u_1(x))-(x+\frac12 \sin(u_2(x)))\|_{\sup}[/mm][mm] =||\bruch{1}{2}sin(u_{1})-\bruch{1}{2}sin(u_{2})||_{\sup}=\bruch{1}{2}||sin(u_{1})-sin(u_{2})||\le\bruch{1}{2}||u_{1}-u_{2}||[/mm]
>
> kann man das so abschaetzen? demzufolge waer ja dann F(u)
> eine kontraktion, wegen [mm]C=\bruch{1}{2}[/mm]
das stimmt, allerdings musst du den entscheidenden schritt (die letzte abschätzung) schon etwas begründen... (stichwort MWS)
>
> > das ist im grunde der entscheidende schritt! du hast recht,
> > rechts steht [mm]u[/mm] und links [mm]F(u)[/mm], wenn wir jetzt aber zeigen,
> > dass F einen fixpunkt [mm]u_1[/mm] hat, dann gilt [mm]F(u_1)=u_1[/mm] und [mm]u_1[/mm]
> > ist die gesuchte funktion!
>
> ok, wenn das soweit richtig ist, wuerde also gelten
> [mm]F(u_{1})=u_{1}[/mm]
> also [mm]x+\bruch{1}{2}sin(u_{1})=u_{1}[/mm]
>
> Aber ich sehe nun immer noch nicht, wie ich nun auf eine
> konkrete funktion fuer [mm]u_{1}[/mm] komme.
du brauchst keine! der banachsche FPS liefert eine existenz- und eindeutigkeitsaussage, mehr ist in der aufgabe nicht gefragt!
VG
Matthias
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:16 So 04.06.2006 | | Autor: | Janyary |
Hallo, Matthias,
> >
> > [mm]d(F(u_1),F(u_2))=\|x+\frac12 \sin(u_1(x))-(x+\frac12 \sin(u_2(x)))\|_{\sup}[/mm][mm] =||\bruch{1}{2}sin(u_{1})-\bruch{1}{2}sin(u_{2})||_{\sup}=\bruch{1}{2}||sin(u_{1})-sin(u_{2})||\le\bruch{1}{2}||u_{1}-u_{2}||[/mm]
>
> >
> > kann man das so abschaetzen? demzufolge waer ja dann F(u)
> > eine kontraktion, wegen [mm]C=\bruch{1}{2}[/mm]
>
> das stimmt, allerdings musst du den entscheidenden schritt
> (die letzte abschätzung) schon etwas begründen...
> (stichwort MWS)
ok mit dem mws, koennt ich mir auch einfach F(u) nehmen und ableiten,
[mm] F(u)=x+\bruch{1}{2}sin(u)
[/mm]
[mm] F'(u)=\bruch{1}{2}cos(u)
[/mm]
da der cos(u) nur zw. -1, 1 liegt, ist also [mm] F'(u)=\bruch{1}{2}cos(u)\le\bruch{1}{2}
[/mm]
reicht das so aus?
> > > das ist im grunde der entscheidende schritt! du hast recht,
> > > rechts steht [mm]u[/mm] und links [mm]F(u)[/mm], wenn wir jetzt aber zeigen,
> > > dass F einen fixpunkt [mm]u_1[/mm] hat, dann gilt [mm]F(u_1)=u_1[/mm] und [mm]u_1[/mm]
> > > ist die gesuchte funktion!
> >
> > ok, wenn das soweit richtig ist, wuerde also gelten
> > [mm]F(u_{1})=u_{1}[/mm]
> > also [mm]x+\bruch{1}{2}sin(u_{1})=u_{1}[/mm]
> >
> > Aber ich sehe nun immer noch nicht, wie ich nun auf eine
> > konkrete funktion fuer [mm]u_{1}[/mm] komme.
>
> du brauchst keine! der banachsche FPS liefert eine
> existenz- und eindeutigkeitsaussage, mehr ist in der
> aufgabe nicht gefragt!
achso, und ich hab die ganze zeit gegruebelt, wie ich nun auf eine konkrete funktion kommen koennte... Na dann ist das ja gar nicht so schwer :D
eine frage haett ich dann doch noch, vorraussetzung fuer den banachschen fixpunktsatz ist doch zum einen, dass es sich um einen vollstaendigen metr. raum handelt, zum andern, dass die funktion in diesem raum, eine kontraktion ist. den 2. teil haben wir ja bewiesen. ist der 1. teil damit erfuellt, weil wir mit der supremumsnorm gearbeitet haben?
LG Jany :)
PS: vielen dank fuer deine hilfe
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> ok mit dem mws, koennt ich mir auch einfach F(u) nehmen und
> ableiten,
> [mm]F(u)=x+\bruch{1}{2}sin(u)[/mm]
> [mm]F'(u)=\bruch{1}{2}cos(u)[/mm]
> da der cos(u) nur zw. -1, 1 liegt, ist also
> [mm]F'(u)=\bruch{1}{2}cos(u)\le\bruch{1}{2}[/mm]
> reicht das so aus?
also ganz so leicht ist das nicht.... vergiss nicht, dass $F$ eine abbildung auf dem raum der stetigen funktionen ist, also [mm] u_1 [/mm] und [mm] u_2 [/mm] funktionen. allerdings wird ja die supremums-norm über den maximalen funktionswert berechnet und da kannst du dann über den MWS argumentieren!
>
> > > > das ist im grunde der entscheidende schritt! du hast recht,
> > > > rechts steht [mm]u[/mm] und links [mm]F(u)[/mm], wenn wir jetzt aber zeigen,
> > > > dass F einen fixpunkt [mm]u_1[/mm] hat, dann gilt [mm]F(u_1)=u_1[/mm] und [mm]u_1[/mm]
> > > > ist die gesuchte funktion!
> > >
> > > ok, wenn das soweit richtig ist, wuerde also gelten
> > > [mm]F(u_{1})=u_{1}[/mm]
> > > also [mm]x+\bruch{1}{2}sin(u_{1})=u_{1}[/mm]
> > >
> > > Aber ich sehe nun immer noch nicht, wie ich nun auf eine
> > > konkrete funktion fuer [mm]u_{1}[/mm] komme.
> >
> > du brauchst keine! der banachsche FPS liefert eine
> > existenz- und eindeutigkeitsaussage, mehr ist in der
> > aufgabe nicht gefragt!
>
> achso, und ich hab die ganze zeit gegruebelt, wie ich nun
> auf eine konkrete funktion kommen koennte... Na dann ist
> das ja gar nicht so schwer :D
>
> eine frage haett ich dann doch noch, vorraussetzung fuer
> den banachschen fixpunktsatz ist doch zum einen, dass es
> sich um einen vollstaendigen metr. raum handelt, zum
> andern, dass die funktion in diesem raum, eine kontraktion
> ist. den 2. teil haben wir ja bewiesen. ist der 1. teil
> damit erfuellt, weil wir mit der supremumsnorm gearbeitet
> haben?
>
ich denke die vollständigkeit von C bezüglich der sup-Norm könnt ihr hier voraussetzen, habt ihr bestimmt schon mal gehabt, oder?
VG
Matthias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:08 Di 06.06.2006 | | Autor: | Janyary |
> > ok mit dem mws, koennt ich mir auch einfach F(u) nehmen und
> > ableiten,
> > [mm]F(u)=x+\bruch{1}{2}sin(u)[/mm]
> > [mm]F'(u)=\bruch{1}{2}cos(u)[/mm]
> > da der cos(u) nur zw. -1, 1 liegt, ist also
> > [mm]F'(u)=\bruch{1}{2}cos(u)\le\bruch{1}{2}[/mm]
> > reicht das so aus?
>
> also ganz so leicht ist das nicht.... vergiss nicht, dass [mm]F[/mm]
> eine abbildung auf dem raum der stetigen funktionen ist,
> also [mm]u_1[/mm] und [mm]u_2[/mm] funktionen. allerdings wird ja die
> supremums-norm über den maximalen funktionswert berechnet
> und da kannst du dann über den MWS argumentieren!
hm, also so richtig hab ich jetzt noch nicht verstanden wo ich aufpassen muss. [mm] u_{1} [/mm] und [mm] u_{2} [/mm] sind doch Elemente von V also auch reellwertige stetige funktionen. Letztendlich liefert u doch aber auch nur einen funktionswert aus [mm] \IR. [/mm] und der funktionswert von sinus bzw. cosinus liegt ja trotzdem nur zwischen -1 und 1. darf ich [mm] F(u)=x+\bruch{1}{2}sin(u) [/mm] nicht so einfach ableiten, oder wo meinst du, dass ich es mir so einfach nicht machen kann?
LG Jany
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> > > ok mit dem mws, koennt ich mir auch einfach F(u) nehmen und
> > > ableiten,
> > > [mm]F(u)=x+\bruch{1}{2}sin(u)[/mm]
> > > [mm]F'(u)=\bruch{1}{2}cos(u)[/mm]
> > > da der cos(u) nur zw. -1, 1 liegt, ist also
> > > [mm]F'(u)=\bruch{1}{2}cos(u)\le\bruch{1}{2}[/mm]
> > > reicht das so aus?
> >
> > also ganz so leicht ist das nicht.... vergiss nicht, dass [mm]F[/mm]
> > eine abbildung auf dem raum der stetigen funktionen ist,
> > also [mm]u_1[/mm] und [mm]u_2[/mm] funktionen. allerdings wird ja die
> > supremums-norm über den maximalen funktionswert berechnet
> > und da kannst du dann über den MWS argumentieren!
>
> hm, also so richtig hab ich jetzt noch nicht verstanden wo
> ich aufpassen muss. [mm]u_{1}[/mm] und [mm]u_{2}[/mm] sind doch Elemente von
> V also auch reellwertige stetige funktionen. Letztendlich
> liefert u doch aber auch nur einen funktionswert aus [mm]\IR.[/mm]
> und der funktionswert von sinus bzw. cosinus liegt ja
> trotzdem nur zwischen -1 und 1. darf ich
> [mm]F(u)=x+\bruch{1}{2}sin(u)[/mm] nicht so einfach ableiten, oder
> wo meinst du, dass ich es mir so einfach nicht machen
> kann?
ich glaube, du hast eigentlich schon verstanden, wie du argumentieren musst. allerdings musst du nur ein wenig aufpassen, ob eine funktion oder einen wert als argument hast. deswegen, schreibe die sup-norm besser einmal aus.
Gruß
Matthias
> LG Jany
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:06 Di 06.06.2006 | | Autor: | Janyary |
ok, vielen dank fuer deine hilfe,
dann werde ich das mal versuchen in eine gute form zu bringen.
LG Jany :)
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Hinweis:
Die [mm]u[/mm] sind keine stetigen Funktionen [mm][-1,1] \to [-1,1][/mm], sondern [mm][-1,1] \to \mathbb{R}[/mm].
Frage:
Wird eigentlich bei der ganzen Überlegung irgendwo verwendet, daß es sich um [mm][-1,1][/mm] handelt oder würde das nicht für jedes Intervall [mm][a,b][/mm] funktionieren?
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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